《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 基本不等式
1. 算术平均数与几何平均数
(1) 条件：给定两个正数 $ a $，$ b $。
(2) 结论：$\frac{a + b}{2}$ 叫做正数 $ a $，$ b $ 的算术平均数；$\sqrt{ab}$ 叫做正数 $ a $，$ b $ 的几何平均数。
2. 基本不等式
(1) 不等式成立的条件：$ a $，$ b $ 都是正数。
(2) 结论：$\sqrt{ab}$≤$\frac{a + b}{2}$。
(3) 等号成立的条件：当且仅当a=b时。
(4) 语言描述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

答案： 1.
(2)算术 几何 2.
(2)≤
(3)a=b
(4)不小于

知识点二 基本不等式与最值
已知 $ x $，$ y $ 都是正数，
(1) 如果积 $ xy $ 等于定值 $ P $，那么当 $ x = y $ 时，和 $ x + y $ 有最小值2√P；
(2) 如果和 $ x + y $ 等于定值 $ S $，那么当 $ x = y $ 时，积 $ xy $ 有最大值1/4S²。

答案： 2√P 1/4S²

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1) 基本不等式 $\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ 中的 $ a $，$ b $ 只能是具体的数。(×)
(2) 重要不等式 $ a^2 + b^2 \geq 2ab $ 与基本不等式 $\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ 成立的条件是相同的。(×)
(3) 不等式 $ m^2 + 1 \geq 2m $ 中等号成立的条件是 $ m = 1 $。(√)
(4) 若 $ a + b = 2 $，则 $\sqrt{ab} \leq 1$。(×)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×  

2. 已知 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且 $ x + y = 18 $，则 $ xy $ 的最大值为81。

答案： 2.81 

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 基本不等式的常见变形有哪些？
(2) 有人把利用基本不等式求最值的条件总结为“一正、二定、三相等”，你知道具体的含义吗？

答案： 1. 基本不等式的常见变形：
对于$a,b\in R^{+}$，$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$（当且仅当$a = b$时取等号）。
变形$1$：$ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^{2}$（当且仅当$a = b$时取等号）。
变形$2$：$a^{2}+b^{2}\geqslant2ab$（当且仅当$a = b$时取等号），由$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$两边平方$(a + b)^{2}\geqslant4ab$，即$a^{2}+2ab + b^{2}\geqslant4ab$，移项可得$a^{2}+b^{2}\geqslant2ab$。
变形$3$：$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant2$（$a,b$同号，当且仅当$a = b$时取等号），令$x=\frac{b}{a}$（$x\gt0$，因为$a,b$同号），则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=x+\frac{1}{x}$，根据基本不等式$x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} = 2$。
2. “一正、二定、三相等”的含义：
“一正”：
指的是在利用基本不等式$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$（$a,b\in R^{+}$）求最值时，$a$和$b$都必须是正数。例如，当$a=-1$，$b = - 1$时，$a + b=-2$，$2\sqrt{ab}=2$，此时$a + b\lt2\sqrt{ab}$，基本不等式不成立。
“二定”：
是说$a + b$或$ab$中有一个是定值。
若求$a + b$的最小值，那么$ab$必须是定值；若求$ab$的最大值，那么$a + b$必须是定值。例如，已知$x\gt0$，$y\gt0$，且$xy = 4$，则$x + y\geqslant2\sqrt{xy}=2\sqrt{4}=4$（当且仅当$x = y = 2$时取等号），这里$xy$是定值，就可以利用基本不等式求$x + y$的最小值。
“三相等”：
是当且仅当$a = b$时，等号成立。这是取到最值的条件。例如，对于函数$y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)$，由基本不等式$y=x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} = 2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$（$x\gt0$），即$x = 1$时取等号，此时$y$取得最小值$2$。如果等号不成立，就不能说取得了最值。比如$y=x+\frac{2}{x}(x\gt0)$，由基本不等式$y=x+\frac{2}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{2}{x}}=2\sqrt{2}$，当且仅当$x=\frac{2}{x}$，即$x=\sqrt{2}$时取等号，若忽略等号成立条件，说$y\geqslant2$（当$x = 1$时）就是错误的，因为当$x = 1$时，$y=1 + 2=3\gt2$，不满足等号成立条件。