《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

2. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x + 5,x\geq4,\\x - 2,x\lt4,\end{cases}$则$f(3)$的值是(A)

A.1
B.2
C.8
D.9

答案： 2.A

3. 请思考并回答下列问题：
（1）你认为分段函数的本质是什么？
（2）分段函数的图象一定不是连续的曲线吗？
（3）函数$f(x)=|x + 3|$与$f(x)=|x|$的图象之间有什么关系？

答案： （1）分段函数的本质是一个函数，其定义域被划分为若干个区间，在每个区间内对应不同的对应法则。
（2）不一定。分段函数的图象可以是连续的曲线，也可以由若干段不连续的曲线或点组成，具体取决于函数在不同区间的连接情况。
（3）函数$f(x)=|x + 3|$的图象是由函数$f(x)=|x|$的图象向左平移3个单位得到的。

已知函数$f(x)=\begin{cases}3 - x^2,x\gt0,\\2,x = 0,\\1 - 2x,x\lt0.\end{cases}$
（1）在所给平面直角坐标系中画出函数$f(x)$的图象；
（2）求$f(a^2 + 1)(a\in\mathbf{R})$，$f(f(3))$的值；
（3）当$f(x)\geq2$时，求$x$的取值范围。

答案：
解:
(1)图象如图所示:

(2)f(a² + 1)=3 - (a² + 1)² = -a⁴ - 2a² + 2,
f(f
(3))=f(-6)=13.
(3)(-∞, -$\frac{1}{2}$] ∪ [0,1].

探究活动
例1 已知函数$f(x)= - x^2 + 2$，$g(x)=x$，令$\varphi(x)=\min\{f(x),g(x)\}$（即$f(x)$和$g(x)$中的较小者）。
（1）分别用图象和解析式表示$\varphi(x)$；
（2）求函数$\varphi(x)$的定义域、值域。

答案：
例1　解:
(1)令 -x² + 2 = x, 得 x = -2 或 x = 1.
在同一个平面直角坐标系中画出函数 f(x),g(x)的图象结合函数 φ(x)的定义,可得函数 φ(x)的图象如图2所示.
结合图2，得$ φ(x)=\begin{cases} -x² + 2, & x \leq -2, \\ x, & -2 ＜ x ＜ 1, \\ -x² + 2, & x \geq 1. \end{cases}$

(2)由图2知,φ(x)的定义域为 R,φ
(1)=1,
所以 φ(x)的值域为 (-∞,1].