《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 函数 $ f(x) = \dfrac{1}{\ln(x + 1)} + \sqrt{9 - x^{2}} $ 的定义域为$(-1,0)\cup(0,3]$。

答案： 1.$(-1,0)\cup(0,3]$

2. 函数 $ f(x) = \sqrt{\lg x} + \lg(5 - 3x) $ 的定义域是$\left(1,\frac{5}{3}\right]$。

答案： 2.$\left(1,\frac{5}{3}\right]$

探究活动
例 2 地震震级是根据测震仪记录的地震波的振幅大小来测定的，一般采用里氏震级标准。震级 $ M_{L} $ 是由离震中 $ 100\ km $ 处的标准测震仪所记录的地震波的最大振幅值的对数来表示的。里氏震级的计算公式为 $ M_{L} = \lg\left(\dfrac{A_{max}}{A_{0}}\right) $，其中 $ A_{0} $ 表示标准地震振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差)，$ A_{max} $ 表示地震波的最大振幅。4.5 级地震给人的震感已比较明显，那么 6.5 级地震的最大振幅是 4.5 级地震的最大振幅的(C)

A.$ e $ 倍
B.10 倍
C.100 倍
D.$ e^{2} $ 倍

答案： 例2 C

某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过 10 万元时，按销售利润的 $ 15\% $ 进行奖励；当销售利润超过 10 万元时，若超出 $ A $ 万元，则超出部分按 $ 2\log_{5}(A + 1) $ 进行奖励。记奖金为 $ y $（单位：万元），销售利润为 $ x $（单位：万元）。
（1）写出奖金 $ y $ 与销售利润 $ x $ 的关系式；
（2）如果业务员老江获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

答案： 解：
(1)由题意，得$y=\begin{cases}0.15x,0\leq x\leq10,\\1.5 + 2\log_{5}(x - 9),x＞10.\end{cases}$
(2)由题意，得$1.5+2\log_{5}(x - 9)=5.5$， 即$\log_{5}(x - 9)=2$,所以$x - 9 = 5^{2}$,解得$x = 34$. 所以老江的销售利润是34万元.