《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 已知$a ＞ b$，$c ＞ d$，且$c$，$d$均不为0，则下列不等式一定成立的是(D)

A.$ad ＞ bc$
B.$ac ＞ bd$
C.$a - c ＞ b - d$
D.$a + c ＞ b + d$

答案： 1.D

2. (多选)下列说法错误的是(AB)

A.若$a ＞ b$，则$ac ＜ bc$
B.若$a ＞ b$，则$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$
C.若$\vert a \vert ＞ \vert b \vert$，则$a^2 ＞ b^2$
D.若$ac^2 ＞ bc^2$，则$a ＞ b$

答案： 2.AB

3. (多选)若$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0$，则下面四个不等式成立的有(CD)

A.$\vert a \vert ＞ \vert b \vert$
B.$a ＜ b$
C.$a + b ＜ ab$
D.$a^3 ＞ b^3$

答案： 3.CD

探究活动
例1 若$a ＞ b ＞ 0$，$c ＜ d ＜ 0$，$e ＜ 0$，求证：$\frac{e}{(a - c)^2} ＞ \frac{e}{(b - d)^2}$.

答案： 例1 证明：因为$c ＜ d ＜ 0$，所以$-c ＞ -d ＞ 0$。又因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - c ＞ b - d ＞ 0$。所以$(a - c)^2 ＞ (b - d)^2 ＞ 0$。两边同乘$\frac{1}{(a - c)^2(b - d)^2}$，得$\frac{1}{(a - c)^2} ＜ \frac{1}{(b - d)^2}$。又$e ＜ 0$，所以$\frac{e}{(a - c)^2} ＜ \frac{e}{(b - d)^2}$。

不等关系是数学中一种最基本的数量关系，生活中随处可见. 例如，已知$b$ g糖水中含有$a$ g糖（$b ＞ a ＞ 0$），再添加$m$ g糖（$m ＞ 0$，假设全部溶解），糖水变甜了.
(1) 请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2) 利用(1)中的结论证明：若$a$，$b$，$c$为三角形的三边长，则$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} ＜ 2$.

答案：
(1)解：得出不等式$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}(b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0)$。证明：$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m} = \frac{a(b + m) - b(a + m)}{b(b + m)} = \frac{ab + am - ab - bm}{b(b + m)} = \frac{m(a - b)}{b(b + m)}$。因为$b ＞ a ＞ 0$，所以$a - b ＜ 0,b ＞ 0$。因为$m ＞ 0$，所以$b + m ＞ 0$。所以$\frac{m(a - b)}{b(b + m)} ＜ 0$，所以$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}$。
(2)证明：因为$a,b,c$为三角形的三边长，则有$a + b ＞ c$，$a + c ＞ b$，$b + c ＞ a$，由
(1)中已证不等式可得$\frac{c}{a + b} ＜ \frac{c + c}{a + b + c}$，$\frac{a}{b + c} ＜ \frac{a + a}{a + b + c}$，$\frac{b}{a + c} ＜ \frac{b + b}{a + b + c}$，将以上不等式左右两边分别相加得$\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} ＜ \frac{c + c}{a + b + c} + \frac{a + a}{a + b + c} + \frac{b + b}{a + b + c} = 2$，所以$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} ＜ 2$。