《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 若函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且满足 $ f(1) ＜ f(2) ＜ f(3) $，则函数 $ f(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上的单调性为(D)

A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.不能确定

答案： 1.D

2. 下列函数中，在区间 $ (0, 1) $ 上单调递增的是(A)

A.$ y = |x| $
B.$ y = 3 - x $
C.$ y = \frac{1}{x} $
D.$ y = -x^2 + 4 $

答案： 2.A

3. 画出函数 $ f(x) = \begin{cases} -x - 3, & x \leq 1, \\ (x - 2)^2 + 3, & x ＞ 1 \end{cases} $ 的图象，并写出函数的单调区间.

答案：
3.解：$f(x)=\begin{cases}-x - 3,x\leq1,\\(x - 2)^{2}+3,x＞1\end{cases}$的图象 如图所示 由图象可知，函数的单调递减区间为$(-\infty,1]$和$[1,2]$；单调递增区间为$(2,+\infty)$.

证明：函数 $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $ 在区间 $[-1, 1]$ 上单调递增.

答案： 证明：$\forall x_{1},x_{2}\in[-1,1]$，且$x_{1}＜x_{2}$， $f(x_{2}) - f(x_{1})=\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+1}-\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+1}$ $=\frac{x_{2}(x_{1}^{2}+1)-x_{1}(x_{2}^{2}+1)}{(x_{2}^{2}+1)(x_{1}^{2}+1)}=\frac{x_{1}x_{2}(x_{1}-x_{2})+(x_{2}-x_{1})}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}$ $=\frac{(x_{2}-x_{1})(1 - x_{1}x_{2})}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}$ 因为$x_{1}x_{2}＜1,x_{1}-x_{2}＜0,x_{1}^{2}+1＞0,x_{2}^{2}+1＞0$，所以$f(x_{2}) - f(x_{1})＞0$， 所以$f(x)$在$[-1,1]$上单调递增.

探究活动　　
例$ (1) $已知函数$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上单调递增，若$ f(1 - m) ＜ f(m) ，$则实数$ m $的取值范围是　　$(\frac{1}{2},+\infty)$　　$.$　　

答案： 例
(1)$(\frac{1}{2},+\infty)$
 

$(2) $已知函数$ f(x) = x^2 + 2(a - 1)x + 2 ，$若函数$ f(x) $在区间$ (-\infty, 4] $上单调递减，则实数$ a $的取值范围是　　$(-\infty,-3]$　　$.$　　

答案：
(2)$(-\infty,-3]$