《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，点P(-6,-8)为角α终边上一点，则cosα=(D)

A.$\frac{4}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$-\frac{3}{5}$

答案： 【应用迁移】 1.D

2. 已知角α的终边在直线$y=-\frac{1}{2}x$上，求sinα，cosα，tanα的值.

答案： 【应用迁移】 2.当角$\alpha$的终边在第二象限时，$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5},\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5},\tan \alpha = -\frac{1}{2}$;当角$\alpha$的终边在第四象限时，$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5},\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5},\tan \alpha = -\frac{1}{2}$.

知识点一 正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号

记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

答案： 知识点一 + + +

知识点二$ $诱导公式一　　
终边相同的角的同一三角函数的值　　相等　　。　　
由此得到一组公式$($公式一$)$：　　
$\sin(\alpha + k \cdot 2\pi) =$　　$\sin \alpha$　　，　　
$\cos(\alpha + k \cdot 2\pi) =$　　$\cos \alpha$　　，　　
$\tan(\alpha + k \cdot 2\pi) =$　　$\tan \alpha$　　，　　
其中$k \in \mathbf{Z}。$　　

答案： 知识点二$ $相等$ \sin \alpha \cos \alpha \tan \alpha $　　

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应。(√)
(2)若$\sin \alpha \cos \alpha ＞ 0$，则角$\alpha$为第一象限角。(×)
(3)终边相同的角的同一三角函数的值相等。(√)
(4)若$\sin \alpha ＞ 0$，则$\alpha$为第一或第二象限角。(×)

答案：  1.
(1)√
(2)×
(3)√
(4)×  

$2. $计算：$\sin 405^{\circ} =$　　$\frac{\sqrt{2}}{2}$　　。　　

答案： $2.\frac{\sqrt{2}}{2} $　　

3. 请思考并回答下列问题：
(1)判断三角函数值符号的关键是什么？
(2)你能谈谈你对诱导公式一的理解吗？

答案： 1. （1）
判断三角函数值符号的关键是：确定角所在的象限。
2. （2）
诱导公式一：$\sin(\alpha + 2k\pi)=\sin\alpha$，$\cos(\alpha + 2k\pi)=\cos\alpha$，$\tan(\alpha + 2k\pi)=\tan\alpha$，$(k\in Z)$。
理解：
从函数的周期性角度看：
正弦函数$y = \sin x$、余弦函数$y=\cos x$、正切函数$y = \tan x$都是周期函数，$2k\pi(k\in Z,k\neq0)$是它们的周期（对于$y = \tan x$，$k\pi(k\in Z,k\neq0)$也是它的周期）。诱导公式一表明，对于任意角$\alpha$，加上$2k\pi(k\in Z)$后，其正弦、余弦、正切函数值不变。
从几何意义角度看：
在平面直角坐标系中，角$\alpha$与角$\alpha + 2k\pi(k\in Z)$的终边相同。根据三角函数的定义（设角$\theta$终边上一点$P(x,y)$，$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$\sin\theta=\frac{y}{r}$，$\cos\theta=\frac{x}{r}$，$\tan\theta=\frac{y}{x}(x\neq0)$），因为终边相同，终边上对应点的坐标$(x,y)$与$r$的关系不变，所以三角函数值不变。