《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 充要条件
1. 定义：如果“若 $ p $，则 $ q $”和它的逆命题“若 $ q $，则 $ p $”均是真命题，即既有 $ p \Rightarrow q $，又有 $ q \Rightarrow p $，就记作$p\Leftrightarrow q$. 此时，$ p $ 既是 $ q $ 的充分条件，也是 $ q $ 的必要条件，即 $ p $ 是 $ q $ 的充分必要条件，简称为充要条件.
2. 条件与结论的等价性：如果 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件，那么 $ q $ 也是 $ p $ 的充要条件.
3. 概括：如果 $ p \Leftrightarrow q $，那么 $ p $ 与 $ q $ 互为充要条件.

答案： 1.$p\Leftrightarrow q$ 充要条件 2.充要条件 3.充要条件

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
$ q $ 是 $ p $ 的必要条件时，$ p $ 是 $ q $ 的充分条件. ($\surd$)
$ q $ 不是 $ p $ 的必要条件时，$ p \nRightarrow q $. ($\surd$)
若 $ q $ 是 $ p $ 的必要条件，则当 $ q $ 成立时，$ p $ 也成立. ($×$)
如果一个命题及其逆命题均正确，那么原命题中的条件是结论的充要条件. ($\surd$)

答案： 1.
(1)$\surd$
(2)$\surd$
(3)$×$
(4)$\surd$   

2. 设 $ p $：四边形为菱形，$ q $：四边形的对角线互相垂直，则 $ p $ 是 $ q $ 的(A)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：  2.A  

3. 请思考并回答下列问题：
(1)“$ p $ 是 $ q $ 的充要条件”与“$ p $ 的充要条件是 $ q $”有区别吗？若有，区别在哪里？
(2)你能用集合的观点理解充分条件与必要条件吗？

答案： 1. 对于问题（1）：
“$p$是$q$的充要条件”，其逻辑关系是$p\Leftrightarrow q$，即$p$能推出$q$，$q$也能推出$p$；
“$p$的充要条件是$q$”，其逻辑关系同样是$p\Leftrightarrow q$，即$q$能推出$p$，$p$也能推出$q$。
所以这两句话没有区别。
2. 对于问题（2）：
设$A = \{x|p(x)\}$，$B=\{x|q(x)\}$。
若$A\subseteq B$，则$p(x)$是$q(x)$的充分条件，$q(x)$是$p(x)$的必要条件。
若$A\subsetneqq B$，则$p(x)$是$q(x)$的充分不必要条件，$q(x)$是$p(x)$的必要不充分条件。
若$A = B$，则$p(x)$是$q(x)$的充要条件。

1. 已知实数 $ a $，$ b $ 满足 $ ab ＞ 0 $，则“$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$”是“$ a ＞ b $”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.C