《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

3. 请思考并回答下列问题：
(1)是不是所有的周期函数都有最小正周期？举例说明.
(2)若 $ f(\frac{1}{2}x + T) = f(\frac{1}{2}x) $，则 $ T $ 是 $ f(\frac{1}{2}x) $ 的周期吗？

答案：
(1)不是，例如常函数$f(x)=C$；
(2)不是

1. 已知函数 $ f(x) = 3\sin(\omega x + \frac{\pi}{3}) $ 的最小正周期 $ T = \pi $，则 $ \omega =$$\pm2$$$.

答案： 1.$\pm2$

2. 函数 $ f(x) = |\sin x| + |\cos x| $ 的最小正周期为.$\frac{\pi}{2}$

答案： 2.$\frac{\pi}{2}$

3. 求下列函数的最小正周期：
(1)$ y = \cos 2x $；
(2)$ y = 3\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) $；
(3)$ y = |\sin x|(x \in \mathbf{R}) $.

答案： 3.
(1)函数$y = \cos 2x$的最小正周期为$\pi$.
(2)函数$y = 3\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})$的最小正周期为$4\pi$.
(3)函数$y = |\sin x|$的最小正周期为$\pi$.

探究活动
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）$ f(x) = |\sin x| + \cos x $；
（2）$ f(x) = \cos(2\pi - x) - x^3 \cdot \sin x $；
（3）$ f(x) = x^2\cos(\frac{\pi}{2} + x) $；
（4）$ f(x) = \sin(\cos x) $.

答案： 例1
(1)偶函数.
(2)偶函数.
(3)奇函数.
(4)偶函数.