《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 若 $ -4 ＜ x ＜ 1 $，则 $\frac{x^2 - 2x + 2}{2x - 2}$(D)

A.有最小值1
B.有最大值1
C.有最小值-1
D.有最大值-1

答案： 1.D

2. 若正数 $ x $，$ y $ 满足 $ 4x + y = 4 $，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为(B)

A.2
B.$\frac{9}{4}$
C.3
D.$\frac{8}{3}$

答案： 2.B

探究活动
例1 (1) 制作一个容积为 $ 4 \, m^3 $、高为 $ 1 \, m $ 的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每平方米 $ 20 $ 元，侧面造价是每平方米 $ 10 $ 元，则该容器的最低总造价是(C)
A.$ 80 $ 元
B.$ 120 $ 元
C.$ 160 $ 元
D.$ 240 $ 元

答案：
(1)C
 

(2) 某幼儿园要用围栏围一个面积为 $ 16 \, m^2 $ 的矩形游乐园，当这个矩形游乐园的边长为多少时，所用围栏最省？并求所需围栏的最短长度。

答案：
(2)当这个矩形游乐园是边长为4m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的最短长度为16m.

如图，工厂拟造一座平面图为长方形且面积为 $ 150 \, m^2 $ 的三级污水处理池。由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过 $ 16 \, m $，且高度一定。如果四周池壁的造价为 $ 400 $ 元/$ m^2 $，中间两道隔墙的造价为 $ 248 $ 元/$ m^2 $，池底造价为 $ 80 $ 元/$ m^2 $，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

答案： 长为$9\sqrt{3}m、$宽为$\frac{50\sqrt{3}}{9}m$时总造价最低.