《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个. 为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本. 若每个蛋糕成本增加的百分率为$x(0 ＜ x ＜ 1)$，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为$0.5x$，同时预计日销售量增加的百分率为$0.8x$. 为使日利润有所增加，求$x$的取值范围.

答案： 为使日利润有所增加，$x$的取值范围为$\left\{x \mid 0＜x＜\frac{3}{4}\right\}$。

探究活动
例 解关于$x$的不等式$ax^2 - (a + 1)x + 1 ＜ 0$.

答案： 当$a＜0$时，不等式的解集为$\left\{x \mid x＜\frac{1}{a}\right.$，或$\left.x＞1\right\}$；当$a=0$时，不等式的解集为$\{x\mid x＞1\}$；当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$\left\{x \mid 1＜x＜\frac{1}{a}\right\}$；当$a=1$时，不等式的解集为$\varnothing$；当$a＞1$时，不等式的解集为$\left\{x \mid \frac{1}{a}＜x＜1\right\}$。

解关于$x$的不等式$ax^2 - 2x + a ＜ 0(a \in \mathbf{R})$.

答案： 当$a\geq1$时，不等式的解集为$\varnothing$；当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$\left\{x \mid \frac{1-\sqrt{1-a^{2}}}{a}＜x＜\frac{1+\sqrt{1-a^{2}}}{a}\right\}$；当$a=0$时，不等式的解集为$\{x\mid x＞0\}$；当$-1＜a＜0$时，不等式的解集为$\left\{x \mid x＜\frac{1+\sqrt{1-a^{2}}}{a}\right.$，或$\left.x＞\frac{1-\sqrt{1-a^{2}}}{a}\right\}$；当$a=-1$时，不等式的解集为$\{x\mid x\neq-1\}$；当$a＜-1$时，不等式的解集为$\mathbf{R}$。