《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点二 函数的三要素与同一个函数
(1)一个函数的构成要素为 .
(2)同一个函数：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.

答案： 知识点二
- （1）一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域。
- （2）同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。
 

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)区间是数集的另外一种表示形式，任何数集都可用区间表示. ()
(2)集合$\{x|x ＜ 4\}$用区间表示为$[4,-\infty)$. ()
(3)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ()
(4)函数$f(x)=x^2$和$f(x - 1)=x^2$是同一个函数. ()

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)× 

2. 若$[a,3a - 1]$为一个确定的区间，则$a$的取值范围是 .

答案： $a\lt 3a - 1$，
解：移项可得$1\lt 3a - a$，
即$1\lt 2a$，
解得$a\gt \frac{1}{2}$。
所以$a$的取值范围是$(\frac{1}{2}, +\infty)$。

3. 请思考并回答下列问题：
(1)区间的左、右端点的大小关系是怎样的？
(2)结合函数的定义，如何才能确定一个函数？

答案： 1. 对于区间：
设区间为$(a,b)$（开区间）、$[a,b]$（闭区间）、$(a,b]$（半开半闭区间）、$[a,b)$（半开半闭区间），其中$a$为左端点，$b$为右端点，都有$a\lt b$。
2. 对于确定一个函数：
解：根据函数的定义$y = f(x)$，$x\in A$，要确定一个函数，需要确定函数的定义域$A$（即自变量$x$的取值范围）和对应关系$f$（对于定义域$A$内的任意一个$x$，按照某种对应关系$f$，在值域中都有唯一确定的$y$与之对应）。
综上，（1）区间左端点小于右端点；（2）确定函数的定义域和对应关系。

求下列函数的定义域：
（1）$f(x)=(x - 1)^0+\sqrt{\frac{2}{x + 1}}$；
（2）$f(x)=\frac{(x + 1)^2}{x + 1}+\sqrt{1 - x}$；
（3）$f(x)=\frac{\sqrt{5 - x}}{\vert x\vert - 3}$；
（4）$f(x)=\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{-x^2 - 3x + 4}}$.

答案： （1）$\{x\mid x＞-1$,且$x\neq1\}$. （2）$\{x\mid x\leq1$,且$x\neq -1\}$.（3）$\{x\mid x\leq5$,且$x\neq\pm3\}$. （4）$[-1,1)$.

1. 如图，已知函数$y = f(x)$的图象上的三点$A(1,3)$，$B(2,1)$，$C(3,2)$，则$f(f(3))$的值为(B)


A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 1.B