《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂. 这种生物复合剂入水后每 $ 1 $ 个单位的活性 $ u $ 随时间 $ x $（单位：$ h $）变化的函数为 $ u = \begin{cases} -\dfrac{256}{x + 4} - x + 64, & 0 \leq x ＜ 4, \\ a(12 - x), & 4 \leq x \leq 12. \end{cases} $ 已知当 $ x = 4 $ 时，$ u $ 的值为 $ 28 $，且只有在活性不低于 $ 3.5 $ 时才能发挥有效作用.
（1）试计算每 $ 1 $ 个单位生物复合剂入水后发挥有效作用的时间；（结果精确到 $ 0.1 h $）
（2）由于环境影响，生物复合剂入水后会产生损耗，设每 $ 1 $ 个单位生物复合剂损耗剩余量 $ v $ 关于时间 $ x $ 的函数为 $ v = \dfrac{1}{x + 1} $，$ 0 \leq x \leq 12 $，记 $ u \cdot v $ 为每 $ 1 $ 个单位生物复合剂的实际活性，求出 $ u \cdot v $ 的最大值.（结果精确到 $ 0.1 $，参考数据：$ \sqrt{15616} \approx 125 $）

答案：
(1)10.8h.
(2)最大值为6.5