《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

比较下列各题中两个值的大小：
（1）$ 1.5^{0.3} $，$ 0.4^{3.1} $；
（2）$ \left( \dfrac{5}{7} \right)^{-1.8} $，$ \left( \dfrac{5}{7} \right)^{-2.5} $；
（3）$ 0.2^{0.3} $，$ 0.3^{0.2} $。

答案：
(1)$1.5^{0.3} ＞ 0.4^{3.1}$.
(2)$\left(\frac{5}{7}\right)^{-1.8} ＜ \left(\frac{5}{7}\right)^{-2.5}$
(3)$0.2^{0.3} ＜ 0.3^{0.2}$.

探究活动
例3 解关于 $ x $ 的不等式 $ a^{x^2 - 3x + 1} ＜ a^{x + 6} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $。

答案： 例3 当$0 ＜ a ＜ 1$时，解集为$\{x \mid x ＜ -1$或$x ＞ 5\}$;当$a ＞ 1$
时，解集为$\{x \mid -1 ＜ x ＜ 5\}$.

求满足下列条件的 $ x $ 的取值范围：
（1）$ 3^{x - 1} ＞ 9^x $；
（2）$ 0.2^x ＜ 25 $；
（3）$ a^{-5x} ＞ a^{x + 7} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $。

答案：
(1)$(-\infty, -1)$.
(2)$(-2, +\infty)$.
(3)$\left(-\frac{7}{6}, +\infty\right)$.