《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

3. 一定范围内，某种产品的购买量 $ y $(单位：$ t $)与价格 $ x $(单位：元/$ t $)之间满足一次函数关系. 若购买 $ 1000 t $，则价格为 $ 800 $ 元/$ t $；若购买 $ 2000 t $，则价格为 $ 700 $ 元/$ t $. 某客户购买 $ 400 t $，其价格为860元/$ t $.

答案： 3.860

探究活动
例 1 某水果批发商销售每箱进价为 $ 40 $ 元的苹果，假设每箱售价不得低于 $ 50 $ 元且不得高于 $ 55 $ 元. 市场调查发现，若每箱以 $ 50 $ 元的价格销售，则平均每天销售 $ 90 $ 箱，且价格每提高 $ 1 $ 元，平均每天少销售 $ 3 $ 箱.
（1）求平均每天的销售量 $ y $（单位：箱）与销售单价 $ x $（单位：元/箱）之间的函数关系式.
（2）求该批发商平均每天的销售利润 $ w $（单位：元）与销售单价 $ x $（单位：元/箱）之间的函数关系式.
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，该批发商可以获得最大日利润？最大日利润是多少？

答案： 例1
(1)$y = - 3x + 240(50\leq x\leq55,x\in N)$.
(2)$w = - 3x^{2} + 360x - 9600(50\leq x\leq55,x\in N)$.
(3)当每箱苹果的售价为55元时，该批发商可以获得最大日利润，且最大日利润为1125元.

某种商品的进价为 $ 4 $ 元/件，当售价为 $ 6 $ 元/件时，日均销售 $ 100 $ 件. 若每件的售价增加 $ 1 $ 元，则日均销售量减少 $ 10 $ 件. 已知每天的固定成本为 $ 20 $ 元，则该商品在销售过程中，售价为10元/件时，日利润最大.

答案： 10

探究活动
例 2 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆柱形管道时，其流量速率 $ R $（单位：$ cm^3/s $）与管道半径 $ r $（单位：$ cm $）的四次方成正比.
（1）写出 $ R $ 关于 $ r $ 的函数解析式；
（2）假设某气体在半径为 $ 3 cm $ 的管道中，流量速率为 $ 400 cm^3/s $，求该气体通过半径为 $ r $ 的管道时，其流量速率 $ R $ 关于 $ r $ 的解析式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为 $ 5 cm $，计算该气体的流量速率.（结果保留整数）
一题多思
解决函数实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题，即建立函数模型，通过对函数性质的研究解决数学问题，从而达到解决实际问题的目的.
思考 1. 解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的？
思考 2. 你能把解函数应用题的步骤用框图表示吗？

答案：
例2 解：
(1)由题意，得$R = kr^{4}$($k$是大于0的常数).
(2)当$r = 3cm$时，$R = 400cm^{3}/s$，得$k\cdot3^{4} = 400$，
所以$k = \frac{400}{81}$，故$R = \frac{400}{81}r^{4}$.
(3)因为$R = \frac{400}{81}r^{4}$，所以当$r = 5cm$时，
$R = \frac{400}{81}×5^{4}\approx3086(cm^{3}/s)$.
【一题多思】
思考1.提示：审题、建模、求解模型、还原(回答实际问题).
思考2.提示:转译实际问题结论数学问题结论