《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

写出下列存在量词命题的否定，并判断原命题及其否定的真假。
（1）存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）$ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} + 4 = 0 $；
（4）$ \exists x \in \mathbf{N}, x^{2} - 2x + 1 \leq 0 $。

答案： 任务2
解：
(1)原命题的否定为“任意一个平行四边形，它的对角线不互相垂直”.
原命题为真命题，其否定为假命题.
(2)原命题的否定是“所有的三角形都不是等边三角形”.原命题为真命题，其否定为假命题.
(3)原命题的否定是“∀x∈R,x²+4≠0”，
原命题为假命题，其否定为真命题.
(4)原命题的否定是“∀x∈N,x²−2x+1＞0”.
原命题为真命题，其否定为假命题.

探究活动
例 已知命题 $ p $：存在 $ x ＞ 1 $，使得 $ 2x + a ＜ 3 $ 是假命题，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 任务3
例 实数 a 的取值范围是{a|a≥1}.

若命题“$ \forall x \in \mathbf{R}, ax^{2} + 2x + 1 \neq 0 $”为假命题，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 【应用迁移】
实数 a 的取值范围是{a|a≤1}.