《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

通信技术中经常用到香农公式 $ C = W\log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right) $，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 $ C $ 取决于信通带宽 $ W $、信道内信号的平均功率 $ S $、信道内部的高斯噪声功率 $ N $ 的大小，其中 $ \frac{S}{N} $ 叫做信噪比. 当信噪比比较大时，公式中真数中的 $ 1 $ 可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽 $ W $ 在原来的基础上增加 $ 20\% $，信噪比 $ \frac{S}{N} $ 从 $ 1000 $ 提升至 $ 5000 $，则 $ C $ 大约增加了(附：$ \lg 2 \approx 0.3010 $)(A)

A.$ 48\% $
B.$ 37\% $
C.$ 28\% $
D.$ 15\% $

答案： 【应用迁移】A

探究活动
例 2 某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快. 经过 $ 2 $ min 菌落的覆盖面积为 $ 18 \ mm^2 $，经过 $ 3 $ min 覆盖面积为 $ 27 \ mm^2 $. 为了较好地描述菌落的覆盖面积 $ y $（单位：$ mm^2 $）与经过时间 $ x $（单位：min）的关系，给出了下面两个函数模型：$ y = ka^x $（$ k ＞ 0 $，$ a ＞ 1 $）与 $ y = px^{\frac{1}{2}} + q $（$ p ＞ 0 $）.（参考数据：$ 3^6 = 729 $，$ 3^7 = 2187 $，$ 3^8 = 6561 $，$ 3^9 = 19683 $，$ \sqrt{2} \approx 1.414 $，$ \sqrt{3} \approx 1.732 $）
(1) 试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出函数解析式；
(2) 在理想状态下，至少经过多久，培养基中菌落的覆盖面积能超过 $ 200 \ mm^2 $？（计算结果保留到整数）

答案： 例2
(1)y=ka^x更合适,理由略.解析式为$y=8×(\frac{3}{2})^x.$
(2)至少经过8 min,培养基中菌落覆盖面积能超过200 mm².