《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

探究活动
例 1 (1) 化简：$\dfrac{\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{9\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)}=$1。
(2) 已知 $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)=\dfrac{1}{2}$，则 $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)$ 的值为\frac{1}{2}。

答案： 例$1 (1)1 (2)\frac{1}{2}$

1. 已知 $\alpha$ 为第二象限角，若 $\sin\left(\dfrac{2025\pi}{2}-\alpha\right)=-\dfrac{1}{4}$，则 $\tan(\pi-\alpha)=$(B)

A.$-\sqrt{15}$
B.$\sqrt{15}$
C.$-\dfrac{\sqrt{15}}{15}$
D.$\dfrac{\sqrt{15}}{15}$

答案： 1.B

2. 已知 $f(\theta)=\dfrac{\cos\left(\theta-\dfrac{3\pi}{2}\right)\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}+\theta\right)}{\cos\dfrac{\pi}{3}\sin(-\theta-\pi)}$。
(1) 若 $f(\theta)=\dfrac{1}{4}$，求 $\tan\theta$ 的值；
(2) 若 $f\left(\dfrac{\pi}{6}-\theta\right)=\dfrac{1}{3}$，求 $\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}+\theta\right)$ 的值。

答案： 2.
(1)当$\theta$为第二象限角时$,\tan \theta=-3\sqrt{7};$当$\theta$为第三象限角时$,\tan \theta=3\sqrt{7}. (2)\frac{1}{6}.$

探究活动
 例 2 求证：$\dfrac{2\sin\left(\theta-\dfrac{3\pi}{2}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)-1}{1-2\sin^{2}(\pi+\theta)}=\dfrac{\tan(9\pi+\theta)+1}{\tan(\pi+\theta)-1}$。

答案： 例2 证明：左边$=\frac{-2\sin(\frac{3\pi}{2}-\theta)\cdot(-\sin \theta)-1}{1 - 2\sin^{2}\theta}$
$=\frac{2\sin[\pi+(\frac{\pi}{2}-\theta)]\sin \theta - 1}{-2\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)\sin \theta - 1}=\frac{-2\cos \theta\sin \theta - 1}{1 - 2\sin^{2}\theta}=\frac{-2\cos \theta\sin \theta - 1}{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta - 2\sin^{2}\theta}=\frac{(\sin \theta+\cos \theta)^{2}}{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta},$
右边$=\frac{\tan \theta + 1}{ \tan \theta-1}=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta},$
所以左边=右边，故原式成立.