《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 $ n $ 次方根
(1) 定义：一般地，如果 $ x^n = a $，那么x叫做a的 $ n $ 次方根，其中 $ n ＞ 1 $，且 $ n \in \mathbf{N}^* $.
(2) 性质：

答案： 知识点一
(1)$x$ $a$
(2)$\sqrt[n]{a}$ $\pm\sqrt[n]{a}$

知识点二$ $根式　　
$(1) $定义：式子　　$\sqrt[n]{a}$　　叫做根式，这里$ n $叫做　　根指数　　，$ a $叫做　　被开方数　　$.$　　
$(2) $性质：当$ n $为奇数时，$\sqrt[n]{a^n} = a；$　　

答案： 知识点二
(1)$\sqrt[n]{a}$ 根指数 被开方数
(2)$a$ $-a$

知识点三 分数指数幂的意义

答案： 知识点三
0 没有意义

知识点四 有理数指数幂的运算性质
(1) $ a^r a^s = a^{r + s} $($ a ＞ 0 $，$ r $，$ s \in \mathbf{Q} $)；
(2) $ (a^r)^s = $$a^{n}$$ $($ a ＞ 0 $，$ r $，$ s \in \mathbf{Q} $)；
(3) $ (ab)^r = $$a^{r}b^{r}$$ $($ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ r \in \mathbf{Q} $).
 

答案： 知识点四
(2)$a^{n}$
(3)$a^{r}b^{r}$
 

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 实数 $ a $ 的偶次方根有两个. ()
(2) $ 0 $ 的任何次幂都等于 $ 0 $. ()
(3) $ a^{\frac{m}{n}} $ 就是 $ \frac{m}{n} $ 个 $ a $ 相乘. ()
(4) $ (-2)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[6]{(-2)^2} $. ()

答案： 【概念辨析】
1.
(1)$×$
(2)$×$
(3)$×$
(4)$×$  

2. 计算：$ 4^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2})^{-1} = $(C)
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$

答案： 2.C 

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 任意实数 $ a $ 是否都存在 $ n $ 次方根？
(2) $ (-4)^{\frac{2}{4}} $ 与 $ (-4)^{\frac{1}{2}} $ 相等吗？为什么？
(3) $ (\sqrt[n]{a})^n $ 中实数 $ a $ 的取值范围是任意实数吗？

答案： 1. 对于问题$(1)$：
当$n$为奇数时，任意实数$a$都存在$n$次方根，$\sqrt[n]{a}$，其中$a\in R$；
当$n$为偶数时，只有$a\geqslant0$时，$a$才存在$n$次方根$\pm\sqrt[n]{a}$，当$a\lt0$时，$a$不存在$n$次方根（在实数范围内）。
2. 对于问题$(2)$：
先看$(-4)^{\frac{2}{4}}$，根据分数指数幂的定义$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$（$a\gt0,m,n\in N^+$，$n\gt1$），$(-4)^{\frac{2}{4}}=\sqrt[4]{(-4)^{2}}=\sqrt[4]{16} = 2$（因为$\sqrt[4]{x^{4}}=\vert x\vert$，这里$x = - 4$，$(-4)^{2}=16$）；
再看$(-4)^{\frac{1}{2}}$，根据$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}(a\geqslant0)$，在实数范围内，$(-4)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-4}$无意义。所以$(-4)^{\frac{2}{4}}$与$(-4)^{\frac{1}{2}}$不相等。
3. 对于问题$(3)$：
当$n$为奇数时，$a\in R$，$(\sqrt[n]{a})^n=a$；
当$n$为偶数时，$\sqrt[n]{a}$有意义的条件是$a\geqslant0$，此时$(\sqrt[n]{a})^n=a$。所以$(\sqrt[n]{a})^n$中，当$n$为奇数时，$a$的取值范围是任意实数；当$n$为偶数时，$a$的取值范围是$a\geqslant0$。
综上：
$(1)$当$n$为奇数时，任意实数$a$都存在$n$次方根；当$n$为偶数时，$a\geqslant0$时$a$存在$n$次方根，$a\lt0$时$a$不存在$n$次方根（在实数范围内）。
$(2)$不相等，因为$(-4)^{\frac{2}{4}} = 2$（有意义），$(-4)^{\frac{1}{2}}$在实数范围内无意义。
$(3)$当$n$为奇数时，$a$的取值范围是任意实数；当$n$为偶数时，$a$的取值范围是$a\geqslant0$。