《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 函数的零点的概念
对于一般函数 $y = f(x)$，我们把使$f(x)=0$的实数 $x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的零点.

答案： 知识点一 $f(x)=0$

知识点二 方程、函数、函数图象之间的关系
方程 $f(x) = 0$ 有实数解$\Leftrightarrow$ 函数 $y = f(x)$ 有零点$\Leftrightarrow$ 函数 $y = f(x)$ 的图象与$x$轴有公共点.

答案： 知识点二 实数解 零点 $x$轴

知识点三 函数零点存在定理
如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有$f(a)f(b)＜0$，那么，函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$，这个 $c$ 也就是方程 $f(x) = 0$ 的解.

答案： 连续不断  
f(a)f(b)＜0
 
f(c)=0

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 函数的零点是一个点.(×)
(2) 所有的函数都有零点.(×)
(3) 若方程 $f(x) = 0$ 有两个不等实数解 $x_1$，$x_2$，则函数 $y = f(x)$ 的零点为 $(x_1,0)$，$(x_2,0)$.(×)
(4) 函数 $f(x)$ 的零点是函数 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标，也是方程 $f(x) = 0$ 的实数解.(√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√  

2. 下列函数在区间 $(0,2)$ 内必有零点的是(D)
A.$y = x - 3$
B.$y = 2^x$
C.$y = x^3$
D.$y = \lg x$

答案： 2.D  

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 函数 $F(x) = f(x) - g(x)$ 的零点与方程 $f(x) = g(x)$ 的实数解有什么关系？
(2) 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象不连续，但 $f(a)f(b) ＜ 0$，那么 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内是否一定有零点？请举例说明.
(3) 函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内有零点，一定有 $f(a)f(b) ＜ 0$ 吗？

答案： 1. 对于函数$F(x)=f(x) - g(x)$：
函数$F(x)$的零点就是使$F(x)=0$的$x$值，即$f(x)-g(x)=0$，也就是$f(x)=g(x)$的实数解。所以函数$F(x)=f(x) - g(x)$的零点就是方程$f(x)=g(x)$的实数解。
2. 解：不一定有零点。
例如$f(x)=\begin{cases}-1,x = 0\\1,x\in(0,1]\end{cases}$，$a = 0$，$b = 1$，此时$f(a)f(b)=(-1)×1=-1\lt0$，但$f(x)$在区间$(0,1)$内没有零点（因为函数在$x = 0$处不连续）。
3. 不一定。
例如$f(x)=x^{2}-1$，令$f(x)=0$，即$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)=0$，解得$x=-1$或$x = 1$，函数$y = f(x)$在区间$(-2,2)$内有零点$x=-1$和$x = 1$，但$f(-2)f(2)=(4 - 1)×(4 - 1)=9\gt0$。
综上，（1）函数$F(x)=f(x) - g(x)$的零点就是方程$f(x)=g(x)$的实数解；（2）不一定有零点，如$f(x)=\begin{cases}-1,x = 0\\1,x\in(0,1]\end{cases}$，$a = 0$，$b = 1$；（3）不一定，如$f(x)=x^{2}-1$在区间$(-2,2)$内有零点，但$f(-2)f(2)\gt0$。