《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. (多选) 已知 $ f(x) $ 为区间 $ (-\infty, +\infty) $ 上的减函数，且 $ a \in (0, +\infty) $，则(ACD)

A.$ f(a) ＞ f(2a) $
B.$ f(a^2) ＜ f(a) $
C.$ f(a^2 + 1) ＜ f(a) $
D.$ f(a^2 + a) ＜ f(a) $

答案： 1.ACD

2. 已知函数 $ f(x) = -x^2 - 2(a + 1)x + 3 $. 若函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty, 3] $ 上单调递增，则实数 $ a $ 的取值范围为________；若函数 $ f(x) $ 在 $ (1, 2) $ 上是单调函数，则实数 $ a $ 的取值范围为________.

答案： 2.$(-\infty,-4]$ $(-\infty,-3]\cup[-2,+\infty)$

【知识清单】

答案： 1. 对于最大值：
条件：$\forall x\in D$，都有$f(x)\leq M$，$\exists x_{0}\in D$，使得$f(x_{0}) = M$。
几何意义：$f(x)$图象上最高点的纵坐标。
2. 对于最小值：
条件：$\forall x\in D$，都有$f(x)\geq M$，$\exists x_{0}\in D$，使得$f(x_{0}) = M$。
几何意义：$f(x)$图象上最低点的纵坐标。
故答案依次为：$\leq$；$\geq$；$f(x_{0}) = M$；纵坐标；纵坐标。

  【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”, 错误的打“×”).
(1) 函数 $ y = f(x) $ 的最大值是图象最高点的纵坐标. (√)
(2) 一个函数可能有多个最小值. (×)
(3) 函数 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上的最值不一定是 $ f(a) $ (或 $ f(b) $). (√)
(4) 若一个函数有最大值, 则最大值不一定是其值域中的一个元素. (×)

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)√
(4)×  

2. 设函数 $ f(x) = 2x - 1(x ＜ 0) $, 则 $ f(x) $(D)
A.有最大值
B.有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值

答案： 2.D  

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 通过以上学习, 你能说出函数最大(小)值的几何意义吗?
(2) 如果定义域内的任意 $ x $ 都满足 $ f(x) \leq M(f(x) \geq M) $, 那么 $ M $ 一定是函数 $ f(x) $ 的最大(小)值吗?
(3) 若函数的值域是确定的, 那么它一定有最值吗?

答案： 1. （1）
函数$y = f(x)$的最大值$M$的几何意义是：函数$y = f(x)$图象上的最高点的纵坐标；函数$y = f(x)$的最小值$m$的几何意义是：函数$y = f(x)$图象上的最低点的纵坐标。
2. （2）
不一定。例如$f(x)=x,x\in(-\infty,1)$，对于任意$x\in(-\infty,1)$，都有$f(x)\lt2$，但$2$不是$f(x)=x,x\in(-\infty,1)$的最大值，因为不存在$x_0\in(-\infty,1)$，使得$f(x_0)=2$。只有当存在$x_0$在定义域内，使得$f(x_0)=M$时，$M$才是函数$f(x)$的最大（小）值（根据函数最大（小）值的定义：设函数$y = f(x)$的定义域为$I$，如果存在实数$M$满足：①对于任意的$x\in I$，都有$f(x)\leq M(f(x)\geq M)$；②存在$x_0\in I$，使得$f(x_0)=M$，那么称$M$是函数$y = f(x)$的最大（小）值）。
3. （3）
不一定。例如函数$y=\frac{1}{x},x\in(0,+\infty)$，其值域是$(0,+\infty)$，但它没有最大值和最小值。因为当$x\to+\infty$时，$y = \frac{1}{x}\to0$，但$y=\frac{1}{x}\gt0$，不存在$x_1\in(0,+\infty)$使得$y=\frac{1}{x_1}=0$；当$x\to0^{+}$时，$y=\frac{1}{x}\to+\infty$，也不存在最大值。
综上，（1）函数最大值$M$是图象最高点纵坐标，最小值$m$是图象最低点纵坐标；（2）不一定；（3）不一定。