《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

【知识清单】

答案： 知识点一
度$\frac{1}{360}$弧度半径长正数负数$0$$\frac{l}{r}$

知识点二 角度制与弧度制的换算
(1) 角度制与弧度制的换算
$ 180^{\circ} = \pi rad $；
$ 1^{\circ} = $$\frac{\pi}{180}$$ rad \approx 0.01745 rad $；
$ 1 rad = $$180^{\circ}$$ \approx 57.30^{\circ} $.
(2) 一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
(3) 角的集合与实数集 $ \mathbf{R} $ 之间的关系

答案： 知识点二
(1)$\frac{\pi}{180}$ $180^{\circ}$
(2)$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{3\pi}{4}$$\frac{3\pi}{2}$

知识点三 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
设扇形的半径为 $ R $，弧长为 $ l $，面积为 $ S $，$ \alpha (0 ＜ \alpha ＜ 2\pi) $ 为其圆心角，则

答案： 知识点三
$\alpha R$
 

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 1 弧度就是 $ 1^{\circ} $ 的圆心角所对的弧. ()
(2) 1 弧度的圆心角的大小和圆的半径大小无关. ()
(3) $ 160^{\circ} $ 化为弧度制是 $ \frac{8}{9}\pi rad $. ()
(4) 若扇形的半径为 $ 1 cm $，圆心角为 $ 30^{\circ} $，则扇形的弧长 $ l = r|\alpha| = 1 × 30 = 30 (cm) $. ()

答案： 【概念辨析】
1.
(1)×
(2)√
(3)√
(4)× 

2. 已知一个扇形的圆心角为 $ 54^{\circ} $，半径 $ r = 20 cm $，则该扇形的周长为$ cm $.

答案：  2.(40+6π) 

3. 请思考并回答下列问题：
(1) $ \alpha = \frac{\pi}{6} + k \cdot 360^{\circ} (k \in \mathbf{Z}) $，$ \beta = 60^{\circ} + 2k\pi (k \in \mathbf{Z}) $，这样表示角可以吗？
(2) 在应用扇形面积公式 $ S = \frac{1}{2} \alpha R^{2} $ 时，要注意什么问题？

答案： 1. 对于$\alpha=\frac{\pi}{6}+k\cdot360^{\circ}(k\in\mathbf{Z})$：
角度制与弧度制不能混用，所以$\alpha=\frac{\pi}{6}+k\cdot360^{\circ}(k\in\mathbf{Z})$这样表示角不可以；
对于$\beta = 60^{\circ}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$：
同样角度制与弧度制不能混用，所以$\beta = 60^{\circ}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$这样表示角不可以。
2. 在应用扇形面积公式$S=\frac{1}{2}\alpha R^{2}$时：
解：要注意公式中$\alpha$是圆心角的弧度数，若题目中给出的圆心角是角度数，需要先将角度数转化为弧度数，再代入公式计算。例如，若圆心角$n^{\circ}$，则弧度数$\alpha=\frac{n\pi}{180}$，然后再代入$S = \frac{1}{2}\alpha R^{2}=\frac{1}{2}×\frac{n\pi}{180}R^{2}$。