《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 下列函数是奇函数的是(C)

A.$f(x)=x^2 + 1$
B.$f(x)=x^3 - 1$
C.$f(x)=x^3 + \dfrac{1}{x}$
D.$f(x)=x^4 + 2x^2$

答案： 1.C

2. 函数$f(x)=\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}$(C)

A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数

答案： 2.C

3. (多选)设函数$f(x)$，$g(x)$的定义域都为$\mathbf{R}$，且$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，则下列结论中正确的是(ABD)

A.$f(x)g(x)$是奇函数
B.$|f(x)|g(x)$是偶函数
C.$f(x)|g(x)|$是偶函数
D.$|f(x)g(x)|$是偶函数

答案： 3.ABD

探究活动
例1 已知函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且当$x\leqslant0$时，$f(x)=x^2 + 2x$. 现已画出函数$f(x)$在$y$轴左侧的图象，如图所示.

(1) 请补全函数$y = f(x)$的图象；
(2) 根据图象写出函数$y = f(x)$的单调递增区间；
(3) 根据图象写出使$f(x)＜0$的$x$的取值集合.
一题多思
思考 将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变.
(1) 作出函数$y = f(x)$的图象；
(2) 写出函数$y = f(x)$的单调递增区间；
(3) 写出使$f(x)＜0$的$x$的取值集合.

答案：
例1 解：
(1)由题意补全函数$y = f(x)$的图象如图所示.

(2)由图可知，函数$y = f(x)$的单调递增区间为$(-1,0)$，$(1,+\infty)$.
(3)由图可知，使$f(x) ＜ 0$的$x$的取值集合为$\{x\mid -2 ＜ x ＜ 2$，且$x \neq 0\}$.
[一题多思]
思考 提示：
(1)函数$y = f(x)$的图象如图所示.

(2)由图可知，函数$y = f(x)$的单调递增区间为$(-1,1)$.
(3)由图可知，使$f(x) ＜ 0$的$x$的取值集合为$\{x\mid -2 ＜ x ＜ 0$，或$x ＞ 2\}$.