《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 设集合$A = \{x|-3\leq x ＜ 0\}$，$B = \{x|x ＜ a\}$. 若$A\cap B\neq \varnothing$，则实数$a$的取值范围是(D)

A.$\{a|-3 ＜ a\leq 0\}$
B.$\{a|a ＞ 0\}$
C.$\{a|a\geq -3\}$
D.$\{a|a ＞ -3\}$

答案： 1.D

2. 已知集合$A = \{x|x^2 - x - 2 = 0\}$，$B = \{x|ax = 1\}$. 若$A\cup B = A$，则实数$a =$(D)

A.$-\frac{1}{2}$或$1$
B.$\frac{1}{2}$或$1$
C.$-\frac{1}{2}$或$1$或$0$
D.$\frac{1}{2}$或$-1$或$0$

答案： 2.D

知识点一 全集
(1)定义
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.
(2)记法
通常记作U.

答案： 知识点一
(1)所有元素
(2)U

知识点二 补集
(1)自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作$\complement_U A$.
(2)符号语言
$\complement_{U}A=\{x|x\in U，且x\notin A\}$.
(3)图形语言

答案： 知识点二
(1)补集 $\complement_U A$
 

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)若在全集U中研究问题，则集合U没有补集. (×)
(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素. (√)
(3)在全集U中存在元素x，使得$x\notin A$，且$x\notin (\complement_{U}A)$. (×)
(4)若$3\notin A$，则$3\in \complement_{U}A$. (×)

答案： 【概念辨析】
1.
(1)×
(2)√
(3)×
(4)×  

2. 设集合$U=\{1,2,3,4,5,6\}$，$M=\{1,2,4\}$，则$\complement_{U}M=$(C)
A.U
B.$\{1,3,5\}$
C.$\{3,5,6\}$
D.$\{2,4,6\}$

答案： 2.C 

3. 请思考并回答下列问题：
(1)全集一定是R吗？
(2)$\complement_{U}A$包含哪几层含义？

答案： 1. 对于问题（1）：
全集是一个相对的概念，它是根据具体问题来确定的。
例如：在研究整数范围内的问题时，全集可以是$Z$（整数集）；在研究某学校高一年级学生的情况时，全集可以是该学校高一年级全体学生组成的集合。
所以全集不一定是$R$。
2. 对于问题（2）：
设全集为$U$，集合$A\subseteq U$，$\complement_{U}A$包含以下几层含义：
第一层含义：$\complement_{U}A$表示一个集合，它是由全集$U$中所有不属于集合$A$的元素组成的集合。
第二层含义：从元素与集合的关系看，若$x\in U$，则$x\in\complement_{U}A$当且仅当$x\notin A$。
第三层含义：从集合运算的角度看，$A\cup(\complement_{U}A)=U$（$A$与$\complement_{U}A$的并集是全集$U$），$A\cap(\complement_{U}A)=\varnothing$（$A$与$\complement_{U}A$的交集是空集）。
综上，（1）全集不一定是$R$；（2）$\complement_{U}A$是由全集$U$中不属于$A$的元素组成的集合，满足$x\in U$时，$x\in\complement_{U}A\Leftrightarrow x\notin A$，且$A\cup(\complement_{U}A)=U$，$A\cap(\complement_{U}A)=\varnothing$。