《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. (多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(AC)

A.一切实数均有相反数
B.$ \forall a \in \mathbf{N} $，方程 $ ax + 1 = 0 $ 都有实数根
C.等腰梯形的对角线相等
D.$ \pi $ 是无理数

答案： 1.AC

2. (多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的有(AC)

A.至少有一个实数 $ x $，使 $ x^{3} + 1 = 0 $
B.所有正方形都是矩形
C.$ \exists x \in \mathbf{R} $，使 $ x^{2} - x + \frac{1}{4} \leq 0 $
D.$ \exists x \in \mathbf{R} $，使 $ x^{2} + 2x + 2 = 0 $

答案： 2.AC

探究活动
例 已知集合 $ A = \{ x | - 2 \leq x \leq 5 \} $，$ B = \{ x | m + 1 \leq x \leq 2m - 1 \} $，且 $ B \neq \varnothing $。若命题 $ p $：$ \forall x \in B $，$ x \in A $ 是真命题，求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 例 实数m的取值范围为{m|2≤m≤3}.

已知命题 $ p $：$ \forall x \in \{ x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \} $，$ \frac{1}{x} - a \geq 0 $，命题 $ q $：$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^{2} + 2x + 2 - a = 0 $。若 $ p $ 与 $ q $ 都是真命题，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： a=1.