《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

已知函数 $ f(x) = x + \frac{1}{x} $.
(1) 证明：$ f(x) $ 在 $ (1, +\infty) $ 上单调递增；
(2) 求 $ f(x) $ 在 $[2, 4]$ 上的最值.

答案：
(1)证明：对于任意$x_1,x_2 \in (1,+\infty)$，且$x_1＜x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=x_1+\frac{1}{x_1}-x_2-\frac{1}{x_2}=(x_1 - x_2)\cdot (1-\frac{1}{x_1x_2})=\frac{(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1)}{x_1x_2}$ 因为$x_2＞x_1＞1$，所以$x_1 - x_2＜0$. 又因为$x_1x_2＞1$，所以$x_1x_2 - 1＞0$. 故$\frac{(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1)}{x_1x_2}＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$， 所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增.
(2)最大值为$\frac{17}{4}$，最小值为$\frac{5}{2}$.

探究活动
例 2 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元, 此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元, 年产量为 $ x(x \in \mathbf{N}^*) $ 件. 当 $ x \leq 20 $ 时, 年销售总收人为 $ (33x - x^2) $ 万元；当 $ x ＞ 20 $ 时, 年销售总收人为 260 万元. 设该工厂生产并销售这种产品所得的年利润(年利润 = 年销售总收人 - 年总投资) 为 $ y $ 万元.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式.
(2) 当该工厂的年产量为多少件时, 所得年利润最大? 最大年利润是多少?

答案： 例2
(1)$y=\begin{cases} -x^2 + 32x - 100,0＜x\leq20,(x\in N^*) \\160 - x,x＞20\end{cases}$
(2)当该工厂的年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.