《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 函数的奇偶性

答案： 知识点一
$f(x)$ $-f(x)$ $y$轴 原点

知识点二 奇偶函数的运算性质
在公共定义域内，有如下结论：
(1) 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
(2) 两个偶函数的和、积都是偶函数；
(3) 一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.

答案： 知识点二
(1)奇 偶
(3)奇
 

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 函数$f(x)$的定义域是$\mathbf{R}$，且$f(-1)=f(1)$，$f(-2)=f(2)$，则$f(x)$是偶函数. (×)
(2) 函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$f(5)=-3$，则$f(-5)=3$. (√)
(3) 若$f(x)$是偶函数，则必有$f(x)=f(-x)=f(|x|)$. (√)

答案： [概念辨析]
1.
(1)×
(2)√
(3)√  

2. 若函数$y = f(x)$，$x\in[-1,a](a＞-1)$是奇函数，则$a=$(C)
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.无法确定

答案： 2.C  

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 偶函数与奇函数的图象分别具有什么特征？
(2) 对于奇函数$f(x)$，一定有$f(0)=0$吗？
(3) 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？

答案： 1. （1）
偶函数的图象关于$y$轴对称；奇函数的图象关于原点对称。
2. （2）
解：不一定。
对于奇函数$f(x)$，若$x = 0$在其定义域内，则$f(-0)=-f(0)$，即$f(0)=-f(0)$，$2f(0)=0$，所以$f(0)=0$；若$x = 0$不在其定义域内，则$f(0)$无意义。例如$f(x)=\frac{1}{x}$，其定义域为$\{x|x\neq0\}$，$f(x)$是奇函数，但$f(0)$不存在。
3. （3）
有。例如$f(x)=0$，当定义域关于原点对称时（如定义域为$[-a,a],a\gt0$），$f(-x)=0 = f(x)$且$f(-x)=0=-f(x)$，所以$f(x)=0$（定义域关于原点对称）既是奇函数又是偶函数。