《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 4 [2025·长沙节选]如图，点$O$是以$AB$为直径的半圆的圆心，$AD$与$BC$均为该半圆的切线，$C$，$D$均为直径$AB$上方的动点，连结$CD$，且始终满足$CD = AD + BC$。求证：$CD$与该半圆相切。
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答案： 变式4 略

典例 5 [新情境]如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿$PA$，$PB$分别相切于点$A$，$B$，不倒翁的鼻尖正好是圆心$O$。若$\angle OAB = 28^{\circ}$，则$\angle APB$的度数为(C)

A.$28^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$56^{\circ}$
D.$62^{\circ}$

答案： 典例5 C

变式 5 把直尺、圆片和两个同样大小的含$30^{\circ}$角的直角三角尺按图所示的方式放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点$B$，$C$。若$AB = 4$，则$\overset{\frown}{BC}$的长为2\pi。

答案： 变式$5 2\pi$

典例 6 [经典题]如图，在扇形$CAB$中，$CD\perp AB$，垂足为$D$，$\odot E$是$\triangle ACD$的内切圆，连结$AE$，$BE$，则$\angle AEB$的度数为135$^{\circ}$。
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答案： 典例6 135

变式 6 [数学文化]刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”。刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式。如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB$，$BC$，$CA$的长分别为$c$，$a$，$b$，则可以用含$c$，$a$，$b$的式子表示出$\triangle ABC$的内切圆直径$d$，下列表达式错误的是(D)

A.$d = a + b - c$
B.$d = \frac{2ab}{a + b + c}$
C.$d = \sqrt{2(c - a)(c - b)}$
D.$d = |(a - b)(c - b)|$
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答案： 变式6 D

例题如图，在$\triangle ABC$中，$AC = 2$，$BC = 4$，点$O$在$BC$上，以$OB$为半径的圆与$AC$相切于点$A$。$D$是$BC$边上的动点，当$\triangle ACD$为直角三角形时，$AD$的长为\frac{3}{2}或\frac{6}{5}。

【易错剖析】因为直角顶点不确定，故本题容易出现漏解。
【我的思考】

答案： 例题$ \frac{3}{2}$或$\frac{6}{5}$