《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例3 [2025·深圳]综合与探究
【探索发现】如图1,小军用两个大小不同的等腰直角三角尺拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形,使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角,此时该四边形称为“双等四边形”,原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC,AC = AD,\angle D = \angle BAC$.此时,四边形 $ABCD$ 是“双等四边形”,$\triangle ABC$ 是“伴随三角形”.

【问题解决】(1)如图3,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = AC,AD = CD,\angle D = \angle BAC$.
①$AD$ 与 $BC$ 的位置关系为:$AD$//$BC$.
②$AC^2$=$AD · BC$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
【方法应用】(2)如图4,在 $\triangle ABC$ 中,$AC = BC$.将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\triangle ADE$,点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上,求证:四边形 $ABDE$ 是“双等四边形”.
(3)如图5,在等腰三角形 $ABC$ 中,$AC = BC,\cos B = \frac{3}{5},AB = 5$,在平面内是否存在一点 $D$,使四边形 $ABCD$ 是以 $\triangle ABC$ 为“伴随三角形”的“双等四边形”? 若存在,请求出 $CD$ 的长;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)①// ②=
(2)略
(3)存在 $\frac{7}{3}$或$\frac{125}{36}$或$\frac{25}{6}$