《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

5. 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程 $ax^{2}+bx + c$$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$$=$$x_{1}· x_{2}=\frac{c}{a}$$0(a\neq0)$ 的两个根为 $x_{1}$，$x_{2}$，则 $x_{1}+x_{2}=$ ，$x_{1}· x_{2}=$ 。

答案： 5.$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

典例 1 [2026·预测]关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$ 化为一般形式后不含一次项，则 $m$ 的值为(D)

A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$

答案： 典例1 D

变式 1 [2025·椒江区模拟]已知一元二次方程 $x^{2}+2mx + 1 = 0$ 的一个根为 1，则 $m =$-1。

答案： 变式1 -1

典例 2 [2025·杭州校级模拟]解方程：$x^{2}+2x = x$.
方法技巧 一元二次方程的解法，如开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了转化思想，把待解决问题(一元二次方程)通过转化归结为易解决问题(一元一次方程).

答案： 例典2 $x_1=-1$,$x_2=0$

变式 2 用指定方法解下列方程：
(1)(直接开平方法)$(x - 1)^{2}=4$.
(2)(因式分解法)$x^{2}-4x = 0$.
(3)(配方法)[2025·滨江区模拟]$x^{2}+2x - 1 = 0$.
(4)(公式法)[2025·鄞州区校级模拟]$x^{2}-4x - 4 = 0$

答案： 变式2
(1)$x_1=3$,$x_2=-1$
(2)$x_1=0$,$x_2=4$
(3)$x_1=-1+\sqrt{2}$,$x_2=-1-\sqrt{2}$
(4)$x_1=2\sqrt{2}+2$,$x_2=-2\sqrt{2}+2$

典例 3 [2026·预测]已知关于 $x$ 的方程 $(m - 2)x^{2}-2(m - 1)x + m + 1 = 0$. 当 $m$ 为何自然数时，
(1)方程只有一个实数根？
(2)方程有两个相等的实数根？
(3)方程有两个不相等的实数根？

答案： 典例3
(1)2
(2)3
(3)0或1

变式 3 - 1 [2025·甘肃]若关于 $x$ 的一元二次方程 $3x^{2}-6x + m = 0$ 有两个实数根，则 $m$ 的取值范围是(B)

A.$m ＜ 3$
B.$m\leqslant3$
C.$m ＞ 3$
D.$m\geqslant3$

答案： 变式3-1 B

变式 3 - 2 [2025·杭州校级模拟]已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+4x + k = 0$ 有两个同号的实数根，则 $k$ 的取值范围是(D)

A.$k ＜ 0$
B.$k ＞ 0$
C.$0\leqslant k ＜ 4$
D.$0 ＜ k\leqslant4$

答案： 变式3-2 D

变式 3 - 3 [2023·杭州]设一元二次方程 $x^{2}+bx + c = 0$. 在下面的四组条件中选择其中一组 $b$，$c$ 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①$b = 2$，$c = 1$；②$b = 3$，$c = 1$；③$b = 3$，$c = -1$；④$b = 2$，$c = 2$.

答案： 变式3-3 只能选择条件②③ 选择条件②,$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$ 选择条件③,$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$