《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例5 [2025·东营]如图，在 $\triangle ABC$ 中，$CB = CA$，$\angle C = 90^{\circ}$，点 $D$ 在边 $BC$ 上(与点 $B$，$C$ 不重合)，四边形 $ADEF$ 为正方形，过点 $F$ 作 $FG\perp CA$，交 $CA$ 的延长线于点 $G$，连结 $FB$，交 $DE$ 于点 $Q$.有下列结论：① $AC = FG$；② $S_{\triangle FAB}:S_{四边形CBFG} = 1:2$；③ $\angle ABC = \angle ABF$；④ $AD^2 = FQ· AC$.其中结论正确的序号是(C)

A.①②④
B.①②③
C.①②③④
D.②③④

答案： 典例5 C

变式5 [2025·宜宾]如图，$O$ 是坐标原点，已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$($a\neq0$)的图象与 $x$ 轴相交于 $A$，$C$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $B$，顶点为 $D$，对称轴为直线 $x = -2$，其中 $A(2,0)$，$B(0,c)$，且 $-3 ＜ c ＜ -2$.有以下结论：① $abc ＞ 0$；② $\frac{2}{3} ＜ b ＜ 1$；③ $\triangle ACD$ 是钝角三角形；④ 若方程 $ax^2 + (b - 2)x + c = 0$ 的两根为 $x_1$，$x_2$($x_1 ＜ x_2$)，则 $-2 ＜ x_1 ＜ 4 - 2\sqrt{7}$，$6 ＜ x_2 ＜ 4 + 2\sqrt{7}$.其中正确的结论有(C)

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： 变式5 C

典例6 [2025·安徽]如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle A = \angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$BC = 3$，$AD = 1$，$E$ 为边 $AB$ 上的动点.将线段 $DE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $DF$，连结 $FB$，$FC$，$EC$，则下列结论错误的是(A)

A.$EC - ED$ 的最大值是 $2\sqrt{5}$
B.$FB$ 的最小值是 $\sqrt{10}$
C.$EC + ED$ 的最小值是 $4\sqrt{2}$
D.$FC$ 的最大值是 $\sqrt{13}$

答案： 典例6 A

变式6 - 1 [2025·东营]如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 6$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$. $M$，$N$ 分别是 $AD$ 和 $AB$ 上的动点，则 $BM + MN$ 的最小值是 3.

答案： 变式6-1 3

变式6 - 2 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$AD = \sqrt{7}$，动点 $P$ 在矩形的边上沿 $B→C→D→A$ 运动.当点 $P$ 不与点 $A$，$B$ 重合时，将 $\triangle ABP$ 沿 $AP$ 对折，得到 $\triangle AB'P$，连结 $CB'$，则在点 $P$ 的运动过程中，线段 $CB'$ 的最小值为 $\sqrt{11} - 2$.

答案： 变式6-2 $\sqrt{11} - 2$

变式6 - 3 [2025·龙东地区]如图，已知在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 7$，$BC = 9$，$M$ 是 $\triangle ABC$ 内部一点，连结 $AM$，$BM$，$CM$.若 $CM = 3$，则 $AM + \frac{1}{3}BM$ 的最小值为 $5\sqrt{2}$.

答案： 变式6-3 $5\sqrt{2}$

典例7 [难题易解][湖州中考]由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为 $1$ 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形(阴影部分)，则图中 $AB$ 的长应是 $\sqrt{2} - 1$.

答案： 典例7 $\sqrt{2} - 1$

变式7 [2025·威海]把一张矩形纸片按照如图 $1$ 所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图 $2$ 或图 $3$ 所示的正方形.若矩形纸片的长为 $m$，宽为 $n$，四边形 $EFGH$ 的面积等于四边形 $ABCD$ 面积的 $2$ 倍，则 $\frac{m}{n} =$ $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$.

答案： 变式7 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$