《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例 3 [2025·舟山校级模拟]如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 为坐标原点，$ A $ 为 $ x $ 轴上的一点，将 $ OA $ 绕点 $ O $ 按顺时针旋转 $ 60^{\circ} $ 至 $ OB $，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象经过点 $ B $，过点 $ A $ 作 $ AC // BO $，交反比例函数图象于点 $ C $，若 $ \triangle BOC $ 的面积为 $ 3\sqrt{3} $，则 $ k $ 的值为$-3\sqrt{3}$.

答案： 典例3 $-3\sqrt{3}$

变式 3 [2023·绍兴]如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 图象上的两点 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $ 满足 $ x_2 = 2x_1 $.$ \triangle ABC $ 的边 $ AC // x $ 轴，边 $ BC // y $ 轴.若 $ \triangle OAB $ 的面积为 $ 6 $，则 $ \triangle ABC $ 的面积是2.

答案： 变式3 2

典例 4 [2025·安徽]如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，一次函数 $ y = ax + 4(a \neq 0) $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象相交于 $ A $，$ B $ 两点.已知点 $ A $ 和 $ B $ 的横坐标分别为 $ 6 $ 和 $ 2 $.
(1)求 $ a $ 与 $ k $ 的值.
(2)设直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点分别为 $ C $，$ D $，求 $ \triangle COD $ 的面积.

答案： 典例4
(1)$a = -\frac{1}{2},k = 6$
(2)16

变式 4 - 1 [2025·连云港]如图，正比例函数 $ y_1 = k_1x(k_1 ＜ 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2 ＜ 0) $ 的图象相交于 $ A $，$ B $ 两点，点 $ A $ 的横坐标为 $ -1 $.当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是(C)

A.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 1 $
B.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $

答案： 变式4-1 C

变式 4 - 2 [2023·杭州]在直角坐标系中，已知 $ k_1k_2 \neq 0 $，设函数 $ y_1 = \frac{k_1}{x} $ 与函数 $ y_2 = k_2(x - 2) + 5 $ 的图象相交于点 $ A $，$ B $.已知点 $ A $ 的横坐标是 $ 2 $，点 $ B $ 的纵坐标是 $ -4 $.
(1)求 $ k_1 $，$ k_2 $ 的值.
(2)过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线，过点 $ B $ 作 $ x $ 轴的垂线，两者在第二象限相交于点 $ C $；过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的垂线，过点 $ B $ 作 $ y $ 轴的垂线，两者在第四象限相交于点 $ D $.求证：直线 $ CD $ 经过原点.

答案： 变式4-2
(1)$k_1 = 10,k_2 = 2$
(2)略

典例 5 [2023·台州]在科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 $ h $（单位：$ cm $）是液体的密度 $ \rho $（单位：$ g/cm^3 $）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为 $ 1\ g/cm^3 $ 的水中时，$ h = 20\ cm $.
(1)求 $ h $ 关于 $ \rho $ 的函数表达式.
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，$ h = 25\ cm $，求该液体的密度 $ \rho $.

答案： 典例5
(1)$h = \frac{20}{\rho}$
(2)$0.8 g/cm^3$

变式 5 - 1 [2025·连云港]某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 $ p(Pa) $ 是气球体积 $ V(m^3) $ 的反比例函数.若当 $ V = 1.2\ m^3 $ 时，$ p = 20000\ Pa $，则当 $ V = 1.5\ m^3 $ 时，$ p = $16 000$ Pa $.

答案： 变式5-1 16 000