《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 3 - 2 我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其运用，如：$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$。
请运用分母有理化的思路，解决下列问题：
(1)化简：$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} =$ $2 + \sqrt{3}$。
(2)比较 $\sqrt{19} - \sqrt{18}$ 和 $\sqrt{18} - \sqrt{17}$ 的大小。

答案： 变式3-2
(1)$2 + \sqrt{3}$
(2)$\sqrt{19} - \sqrt{18} ＜ \sqrt{18} - \sqrt{17}$

典例 4 [2025·定海区模拟]已知 $a + b = -5$，$ab = 1$，则 $b\sqrt{\frac{b}{a}} + a\sqrt{\frac{a}{b}}$ 的值为(C)

A.23
B.5
C.-23
D.-5

答案： 典例4 C

变式 4 - 1 [2025·台州模拟]若 $a + b = 5\sqrt{3}$，$ab = 12$，则 $a - b$ 的值为(D)

A.$\sqrt{51}$
B.$±\sqrt{51}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$±3\sqrt{3}$

答案： 变式4-1 D

变式 4 - 2 [2025·福建]先化简，再求值：$(2 + \frac{1 - a}{a})÷\frac{a^2 + 2a + 1}{a}$，其中 $a = \sqrt{5} - 1$。

答案： 变式4-2 原式$= \frac{1}{a + 1} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

典例 5 若 $m$，$n$ 为实数，且 $(m + 4)^2 + \sqrt{n - 5} = 0$，则 $(m + n)^2$ 的值为1。

答案： 典例5 1

变式 5 已知实数 $x$，$y$ 满足 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 2$，则 $(y - x)^{2026}$ 的值为1。

答案： 变式5 1

例题 化简：$\sqrt{a^2 - 10a + 25} - (\sqrt{3 - a})^2$。
【易错剖析】本题容易出错的地方在于：（1）默认 $\sqrt{a^2} = a$，忽视当 $a ＜ 0$ 时，$\sqrt{a^2} = -a$；（2）忽略 $\sqrt{3 - a}$ 的隐含条件 $3 - a \geq 0$，即 $a \leq 3$。
【我的思考】

答案： 例题2