《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 5 - 2 [2025·浙江模拟]如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点 $ A $ 处，且托盘上放置了一个 $ 100\ g $ 的砝码，右侧托盘可以在 $ BC $ 段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒.已知 $ AC = 15\ cm $，$ BC = 50\ cm $，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的数据.
(1)你认为表中哪次实验的数据明显是错误的？
(2)你认为 $ l $ 与 $ m $ 满足反比例函数关系(填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”)，求出 $ l $ 关于 $ m $ 的函数表达式.
(3)某同学给空牛奶盒里加入了 $ 65\ g $ 的水，移动托盘使天平保持平衡，此时 $ CD = 20\ cm $，求这个空牛奶盒的质量.

答案： 变式5-2
(1)第4次
(2)反比例函数,$l = \frac{1500}{m}$
(3)10 g

例题 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象过等边三角形 $ BOC $ 的顶点 $ B $，点 $ C $ 在 $ x $ 轴的负半轴上，$ OC = 2 $，点 $ A $ 在第一象限内的反比例函数的图象上，连结 $ AC $，$ AO $.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)若四边形 $ ACBO $ 的面积是 $ 3\sqrt{3} $，求点 $ A $ 的坐标.

答案：

解：
(1)如答图，过点 $ B $ 作 $ BM \perp x $ 轴于点 $ M $.

$ \because $ 在等边三角形 $ BOC $ 中，$ OC = 2 $，

$ \therefore OM = 1 $，$ BM = \sqrt{3} $，$ \therefore $ 点 $ B(-1,-\sqrt{3}) $，（2 分）

$ \therefore k = -1 × (-\sqrt{3}) = \sqrt{3} $，

$ \therefore $ 反比例函数的表达式为 $ y = \frac{\sqrt{3}}{x} $.（4 分）

(2)$ \because S_{四边形ACBO} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOC} $，

$ S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OC · BM = \sqrt{3} $，

$ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}OC · y_A = y_A $，

$ \therefore \sqrt{3} + y_A = 3\sqrt{3} $，$ \therefore y_A = 2\sqrt{3} $.（8 分）

又 $ \because $ 点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{\sqrt{3}}{x} $ 的图象上，

$ \therefore x_A = \frac{\sqrt{3}}{y_A} = \frac{1}{2} $，$ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ (\frac{1}{2},2\sqrt{3}) $.（10 分）

例题若点 $ A(-5,y_1) $，$ B(-3,y_2) $，$ C(2,y_3) $ 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系是(D)

A.$ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $
B.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
C.$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $
D.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $

答案： 例题 D