《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例1 [2025·泸州]对于任意实数 $a$，$b$，定义新运算：$a※b=\begin{cases}a,(a\geqslant b)\\ -a.(a ＜ b)\end{cases}$ 给出下列结论：
① $8※2 = 8$；
② 若 $x※3 = 6$，则 $x = 6$；
③ $a※b = (-a)※(-b)$；
④ 若 $(2x - 4)※2 ＜ 5x$，则 $x$ 的取值范围是 $x ＞ \frac{4}{7}$.
其中正确结论的个数是(B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 典例1 B

变式1 - 1 [2025·眉山]在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(m,n)$，则向量 $\overrightarrow{OP} = (m,n)$，已知 $\overrightarrow{OA_1} = (x_1,y_1)$，$\overrightarrow{OA_2} = (x_2,y_2)$，若 $x_1· x_2 + y_1· y_2 = 0$，则 $\overrightarrow{OA_1}$ 与 $\overrightarrow{OA_2}$ 互相垂直.下列选项中，两向量互相垂直的是(D)

A.$\overrightarrow{OB_1} = (2,3)$，$\overrightarrow{OB_2} = (\sin30^{\circ},\pi^0)$
B.$\overrightarrow{OC_1} = (3,-9)$，$\overrightarrow{OC_2} = (1,-\frac{1}{3})$
C.$\overrightarrow{OD_1} = (\sqrt{5},\frac{\sqrt{5}}{5})$，$\overrightarrow{OD_2} = (2,\frac{1}{2})$
D.$\overrightarrow{OE_1} = (2,1)$，$\overrightarrow{OE_2} = (2^{-1},-1)$

答案： 变式1-1 D

变式1 - 2 若一个点的纵坐标是横坐标的 $3$ 倍，则称这个点为“三倍点”，如：$A(1,3)$，$B(-2,-6)$，$C(0,0)$ 等都是“三倍点”.在 $-3 ＜ x ＜ 1$ 的范围内，若二次函数 $y = -x^2 - x + c$ 的图象上至少存在一个“三倍点”，则 $c$ 的取值范围是(D)

A.$-\frac{1}{4}\leqslant c ＜ 1$
B.$-4\leqslant c ＜ -3$
C.$-\frac{1}{4}\leqslant x ＜ 6$
D.$-4\leqslant c ＜ 5$

答案： 变式1-2 D

变式1 - 3 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于点 $P(x,y)$，若 $x$，$y$ 均为整数，则称点 $P$ 为“整点”，特别地，当 $\frac{y}{x}$(其中 $xy\neq0$)的值为整数时，称“整点”$P$ 为“超整点”.已知点 $P(2a - 4,a + 3)$ 在第二象限，下列说法正确的是(C)

A.$a ＜ -3$
B.若点 $P$ 为“整点”，则点 $P$ 的个数为 $3$
C.若点 $P$ 为“超整点”，则点 $P$ 的个数为 $1$
D.若点 $P$ 为“超整点”，则点 $P$ 到两坐标轴的距离之和大于 $10$

答案： 变式1-3 C

变式1 - 4 定义一种新运算“$*$”，规定运算法则为：$m*n = m^n - mn$($m$，$n$ 均为整数，且 $m\neq0$).例如：$2*3 = 2^3 - 2×3 = 2$，则 $(-2)*2 =$ 8.

答案： 变式1-4 8