《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例 7 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$BD = CD$，且 $\angle ABC$ 为锐角。已知 $AD = 4$，$BC = 12$，$E$ 为 $BC$ 上的一点，连结 $DE$。
(1) 当四边形 $ABED$ 是等腰梯形时，求 $CE$ 的长。
(2) 当四边形 $ABED$ 是直角梯形时，求 $CE$ 的长。
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答案：
(1) 过点 $ A $、$ D $ 分别作 $ BC $ 的垂线，垂足为 $ M $、$ N $。
∵ $ AD // BC $，
∴ 四边形 $ AMND $ 为矩形，$ MN = AD = 4 $，$ AM = DN $。
∵ $ BD = CD $，$ BC = 12 $，
∴ $ \triangle BDC $ 为等腰三角形，$ N $ 为 $ BC $ 中点，$ BN = NC = 6 $。
设 $ CE = y $，则 $ BE = 12 - y $。
∵ 四边形 $ ABED $ 是等腰梯形，$ AD // BE $，
∴ 腰 $ AB = DE $。
在 $ Rt\triangle ABM $ 中，$ BM = BN - MN = 6 - 4 = 2 $，$ AB^2 = AM^2 + BM^2 = h^2 + 2^2 $。
在 $ Rt\triangle DNE $ 中，$ EN = NC - CE = 6 - y $，$ DE^2 = DN^2 + EN^2 = h^2 + (6 - y)^2 $。
∵ $ AB = DE $，
∴ $ h^2 + 2^2 = h^2 + (6 - y)^2 $，解得 $ y = 4 $（$ y = 8 $ 时 $ ABED $ 为平行四边形，舍去）。
∴ $ CE = 4 $。
(2)
∵ 四边形 $ ABED $ 是直角梯形，$ AD // BE $，直角梯形有一内角为直角。
∵ $ \angle ABC $ 为锐角，
∴ 直角只能在 $ E $ 处，即 $ DE \perp BC $。
∵ $ BD = CD $，$ DE \perp BC $，
∴ $ E $ 为 $ BC $ 中点（等腰三角形三线合一）。
∵ $ BC = 12 $，
∴ $ CE = \frac{1}{2}BC = 6 $。
(1) $ 4 $；
(2) $ 6 $。

变式 7 [2025·广东]如图，$CD$ 是 $Rt \triangle ABC$ 斜边 $AB$ 上的中线，过点 $A$，$C$ 分别作 $AE // DC$，$CE // AB$。现有以下命题：
① 若连结 $BE$，交 $CA$ 于点 $F$，则 $S_{\triangle CFB} = 2S_{\triangle CEF}$。
② 若连结 $ED$，则 $ED \perp AC$。
③ 若连结 $ED$，则 $ED = BC$。
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例。
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答案： 选择命题②和③进行判断与证明：
命题②：若连结 $ED$，则 $ED \perp AC$。（真命题）
证明：
以 $C$ 为原点，$CA$ 为 $x$ 轴，$CB$ 为 $y$ 轴建立坐标系。设 $A(2b,0)$，$B(0,2c)$，则斜边 $AB$ 中点 $D(b,c)$。
由 $AE // DC$ 且 $CE // AD$，可求得 $E(b,-c)$（过程略）。
$ED$ 两点坐标为 $E(b,-c)$，$D(b,c)$，故 $ED$ 所在直线为 $x=b$（竖直线）。
$AC$ 在 $x$ 轴上（水平线），竖直线与水平线垂直，因此 $ED \perp AC$。
命题③：若连结 $ED$，则 $ED = BC$。（真命题）
证明：
由坐标系得 $E(b,-c)$，$D(b,c)$，则 $ED = \sqrt{(b-b)^2 + [c - (-c)]^2} = \sqrt{0 + (2c)^2} = 2c$。
$B(0,2c)$，$C(0,0)$，则 $BC = \sqrt{(0-0)^2 + (2c-0)^2} = 2c$。
因此 $ED = BC$。
结论：命题②和③均为真命题。

例 1 [2025·浙江模拟]阅读下列材料：
在数学课上，老师提出一道尺规作图问题：
已知：如图 1，$AB // CD$，$AE$ 平分 $\angle BAC$，交 $CD$ 于点 $E$。
求作：菱形 $ACEF$，并使点 $F$ 在 $AB$ 上。
小明：如图 2，作 $\angle ACD$ 的平分线 $CF$，交 $AB$ 于点 $F$，连结 $EF$。
小英：如图 3，以点 $E$ 为圆心，$AE$ 长为半径作弧，交 $AB$ 于点 $F$，连结 $EF$。
小明：小英，你的作法有问题。
小英：哦……我的作法确实存在问题，你的作法是正确的。
(1) 给出小明作法中四边形 $ACEF$ 是菱形的证明。
(2) 指出小英作法中存在的问题。
【易错剖析】本题容易出错的地方在于：(1) 把菱形的判定方法记混；(2) 误认为 $\angle ACE = 60^{\circ}$；(3) 把邻边相等与边和其中一条对角线相等混淆。
【我的思考】

答案：
(1) 证明：
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD（两直线平行，内错角相等）。
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴∠CAE=1/2∠BAC，∠ACF=1/2∠ACD，
∴∠CAE=∠ACF，
∴AE//CF（内错角相等，两直线平行）。
∵AB//CD，即AF//CE，
∴四边形ACEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵AB//CD，
∴∠AFC=∠FCE（两直线平行，内错角相等）。
∵CF平分∠ACD，
∴∠FCE=∠ACF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AC=AF（等角对等边）。
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE，AC=EF，
∴AF=AC，
∴平行四边形ACEF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2) 小英的作法仅能保证EF=AE，但无法确保四边形ACEF是平行四边形，且不能保证邻边相等，因此不能构成菱形。

例 2 [2023·绍兴]如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle DAB = 40^{\circ}$，连结 $AC$，以点 $A$ 为圆心，$AC$ 长为半径作弧，交直线 $AD$ 于点 $E$，连结 $CE$，则 $\angle AEC$ 的度数是 。
【易错剖析】本题容易出错的地方在于几何计算中，若点的位置不确定，易忽视分类讨论而漏解。
【我的思考】
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答案： $10^{\circ}$或$80^{\circ}$