《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

3. 过点作圆
过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连结这两点的线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三点可以作一个圆.

答案： 3.无数 无数 垂直平分线 不在同一条直线上的

典例 1 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线 OP 为∠AOB 的平分线的有(D)

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A.①
B.①③
C.③④
D.①②③④

答案： 典例1 D

变式 1 - 1 [2025·眉山]如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，AB = 6，BC = 10.按下列步骤作图：①以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB，AD 于 E，F 两点；②分别以点 E，F 为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧，两弧相交于点 P；③作射线 AP，交 BC 于点 G，则 CG 的长为(A)

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A.4
B.5
C.6
D.8

答案： 变式1-1 A

变式 1 - 2 [2025·遂宁]在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，有如图所示的尺规作图痕迹，则线段 AQ 的长为(A)

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A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.6
D.$\frac{120}{13}$

答案： 变式1-2 A

变式 1 - 3 [2025·齐齐哈尔]如图，在□ABCD 中，BC = 2AB = 8，连结 AC，分别以点 A，C 为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧，两弧相交于点 E，F，作直线 EF，交 AD 于点 M，交 BC 于点 N，若点 N 恰为 BC 的中点，则 AC 的长为4\sqrt{3}.

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答案： 变式$1-3 4\sqrt{3}$

典例 2 如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，BE//DC，交 AC 的延长线于点 E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM = ∠A，且射线 CM 交 BE 于点 F（保留作图痕迹，不写作法）.
(2)证明(1)中得到的四边形 CDBF 是菱形.

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答案： 典例2 略