《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

1. 二次函数与一元二次方程
二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 与一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有着密切的联系，二次函数的图象与 $ x $ 轴的交点的横坐标对应一元二次方程的实数根，抛物线与 $ x $ 轴的交点情况可由 $ y = 0 $ 时所得的一元二次方程根的判别式 $ b^{2}-4ac $ 判定。
(1)函数图象与 $ x $ 轴有两个交点$b^{2} - 4ac ＞ 0$$ \Leftrightarrow $ $ \Leftrightarrow $ 方程有两个不相等的实数根。
(2)函数图象与 $ x $ 轴有一个交点$b^{2} - 4ac = 0$$ \Leftrightarrow $ $ \Leftrightarrow $ 方程有两个相等的实数根。
(3)函数图象与 $ x$$b^{2} - 4ac ＜ 0$$$ 轴没有交点 $ \Leftrightarrow $ $ \Leftrightarrow $ 方程没有实数根。

答案： 1.
(1)$b^{2} - 4ac ＞ 0$
(2)$b^{2} - 4ac = 0$
(3)$b^{2} - 4ac ＜ 0$

2. 二次函数的图象与系数的关系
(1)二次函数的图象与性质是数形结合的典型体现，二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq 0) $ 的图象特征与 $ a $，$ b $，$ c $ 及根的判别式 $ b^{2}-4ac $ 的符号之间的关系如下表：
(2)特殊值：当 $ x = 1 $ 时，$ y = a + b + c $；当 $ x = -1 $ 时，$ y = a - b + c $。若 $ a + b + c＞0 $，则当 $ x =$1$ $ 时，$ y＞0 $。若 $ a - b + c＞0 $，则当 $ x$-1$= $ 时，$ y＞0 $。

答案： 2.
(1)上 下 y轴 左 右 原点 正 负
(2)1 -1

典例 1 已知抛物线 $ y = x^{2}-x + c $（$ c $ 是常数），若抛物线与 $ x $ 轴有两个不同的交点，则 $ c $ 的取值范围是$c ＜ \frac{1}{4}$；若抛物线与 $ x $ 轴只有一个交点，则 $ c $ 的值是$\frac{1}{4}$ ；若抛物线与 $ x $ 轴没有交点，则 $ c $ 的取值范围是 。

答案： 典例1 $c ＜ \frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ $c ＞ \frac{1}{4}$

变式 1 - 1 [2025·临安区模拟]若函数 $ y = kx^{2}-4x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点，则 $ k $ 的取值范围是$k \leq 4$ 。

答案： 变式1-1 $k \leq 4$

变式 1 - 2 [2023·宁波]已知二次函数 $ y = ax^{2}-(3a + 1)x + 3(a\neq 0) $，下列说法正确是(C)

A.点 $ (1,2) $ 在该函数的图象上
B.当 $ a = 1 $ 且 $ -1\leqslant x\leqslant 3 $ 时，$ 0\leqslant y\leqslant 8 $
C.该函数的图象与 $ x $ 轴一定有交点
D.当 $ a＞0 $ 时，该函数图象的对称轴一定在直线 $ x = \frac{3}{2} $ 的左侧

答案： 变式1-2 C

变式 1 - 3 [2025·南充]已知某函数图象关于 $ y $ 轴对称，当 $ 0\leqslant x\leqslant 2 $ 时，$ y = x^{2}-2x $；当 $ x＞2 $ 时，$ y = 2x - 4 $。若直线 $ y = x + b $ 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 $ b $ 的范围是(A)

A.$ -\frac{1}{4}＜b＜0 $
B.$ -\frac{9}{4}＜b＜-\frac{1}{4} $
C.$ -\frac{1}{4}\leqslant b\leqslant 0 $
D.$ b\leqslant -\frac{1}{4} $ 或 $ b＞0 $

答案： 变式1-3 A

典例 2 [2025·齐齐哈尔改编]如图，二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴相交于两点 $ (-1,0) $，$ (x_{1},0) $，且 $ 2＜x_{1}＜3 $。有下列结论：① $ abc＜0 $；② $ 2a + c＜0 $；③ $ 4a - b + 2c＜0 $；④若 $ m $ 和 $ n $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a(x + 1)(x - x_{1})+c = 0(a\neq 0) $ 的两根，且 $ m＜n $，则 $ m＜-1 $，$ n＞2 $；⑤关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2}+bx + c＜-\frac{c}{x_{1}}x + c(a\neq 0) $ 的解为 $ 0＜x＜x_{1} $。其中正确的是(C)


A.①②
B.②④
C.②④⑤
D.③④⑤

答案： 典例2 C