《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式1 - 5 [2025·河南]定义：有两个内角的差为 $90^{\circ}$ 的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$BC = 8$，$P$ 为边 $BC$ 上一点.若 $\triangle APC$ 为“反直角三角形”，则 $BP$ 的长为 $\frac{11}{2}$或$\frac{25}{4}$.

答案： 变式1-5 $\frac{11}{2}$或$\frac{25}{4}$

典例2 [2025·威海]如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，点 $B$ 在反比例函数 $y = -\frac{2}{x}$ 的图象上，连结 $OA$，$OB$，$AB$.若 $AO\perp BO$，则 $\tan\angle BAO =$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案： 典例2 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

变式2 如图，正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$，$C$ 在抛物线 $y = -x^2 + 4$ 上，点 $D$ 在 $y$ 轴上.若 $A$，$C$ 两点的横坐标分别为 $m$，$n$($m ＞ n ＞ 0$)，下列结论正确的是(B)

A.$m + n = 1$
B.$m - n = 1$
C.$m = 1$
D.$\frac{m}{n} = 1$

答案： 变式2 B

典例3 [2025·绥化]观察下图，图 $1$ 有 $2$ 个三角形，记作 $a_1 = 2$；图 $2$ 有 $3$ 个三角形，记作 $a_2 = 3$；图 $3$ 有 $6$ 个三角形，记作 $a_3 = 6$；图 $4$ 有 $11$ 个三角形，记作 $a_4 = 11$；按此方法继续下去，则 $a_n =$ $n^2 - 2n + 3$(结果用含 $n$ 的代数式表示).

答案： 典例3 $n^2 - 2n + 3$

变式3 [2025·达州]定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移 $a$ 个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转 $\theta$ 角度，这样的图形运动叫做图形的 $\gamma(a,\theta)$ 变换.现将斜边为 $1$ 的等腰直角三角形 $ABC$ 放置在如图的平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 经 $\gamma(1,180^{\circ})$ 变换后得 $\triangle A_1B_1C_1$ 为第一次变换，$\triangle A_1B_1C_1$ 经 $\gamma(2,180^{\circ})$ 变换后得 $\triangle A_2B_2C_2$ 为第二次变换，…，经 $\gamma(n,180^{\circ})$ 变换后得 $\triangle A_nB_nC_n$，则点 $C_{2025}$ 的坐标是 $(-\frac{2027}{2}, -\frac{1}{2})$.

答案： 变式3 $(-\frac{2027}{2}, -\frac{1}{2})$

典例4 [2025·眉山]如图 $1$，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，点 $D$ 在 $AC$ 上，$CD = \sqrt{2}$，动点 $P$ 在 $Rt\triangle ABC$ 的边上沿 $C→B→A$ 方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度匀速运动，到达点 $A$ 时停止，以 $DP$ 为边作正方形 $DPEF$.设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒，正方形 $DPEF$ 的面积为 $S$.当点 $P$ 由点 $B$ 运动到点 $A$ 时，如图 $2$，$S$ 是关于 $t$ 的二次函数.在 $3$ 个时刻 $t_1$，$t_2$，$t_3$($t_1 ＜ t_2 ＜ t_3$)对应的正方形 $DPEF$ 的面积均相等.有下列 $4$ 个结论：①当 $t = 1$ 时，$S = 3$；②点 $P$ 在线段 $BA$ 上时，$S = 2t^2 - 16t + 34$；③ $AD = 4\sqrt{2}$；④ $t_1 + t_2 = 4$.其中正确结论的个数为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 典例4 B

变式4 [2025·烟台]如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$AD$ 是角平分线.点 $E$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 方向向点 $B$ 运动，连结 $CE$，点 $F$ 在 $BC$ 上，且 $\angle CEF = 45^{\circ}$.设 $AE = x$，$FD = y$，若 $y$ 关于 $x$ 的函数图象过点 $(0,2 - \sqrt{2})$，则该图象上最低点的坐标为(B)

A.$(\frac{1}{2},\frac{3}{2} - \sqrt{2})$
B.$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3}{2} - \sqrt{2})$
C.$(\frac{1}{2},3 - 2\sqrt{2})$
D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},3 - 2\sqrt{2})$

答案： 变式4 B