《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

2. 圆的切线的性质
(1)性质：经过切点的半径垂直于圆的切线。
(2)推论：
①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
②经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。

答案： 2.
(1)切点
(2)切点 圆心

3. 圆的切线的判定
判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

答案： 3.垂直

4. 切线长定理
(1)切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。
(2)切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。

答案： 4.
(1)切线 切点
(2)相等

5. 三角形的内切圆
(1)定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
(2)三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。

答案： 5.
(1)内切圆 内心
(2)角平分线

典例 1 [易错题]已知$\odot O$的半径为 2，直线$l$上有一点$P$满足$PO = 2$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是(D)

A.相切
B.相离
C.相离或相切
D.相切或相交

答案： 典例1 D

变式 1 [2025·浙江模拟]如图，在$\odot O$中，弦$AD = 4$厘米，作正方形$ABCD$，点$B$，$C$均落在圆内，圆心$O$在正方形内。若将正方形$ABCD$沿射线$AD$方向平移 1 厘米，能使边$CD$与$\odot O$相切，则将正方形$ABCD$沿射线$AB$方向平移\sqrt{5}-1或\sqrt{5}+3厘米时，正方形其中一条边与$\odot O$相切。
]

答案： 变式$1 \sqrt{5}-1$或$\sqrt{5}+3$

典例 2 [2025·浙江]如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$O$在边$AB$上，以点$O$为圆心，$OB$的长为半径的半圆，交$BC$于点$D$，与$AC$相切于点$E$，连结$OD$，$OE$。
（1）求证：$OD\perp OE$。

（2）若$AB = BC$，$OB = \sqrt{3}$，求四边形$ODCE$的面积。
方法技巧 在切线的性质问题中常常连结圆心和切点，构造直角三角形解题。

答案： 典例2
(1)略$ (2)3+\frac{\sqrt{3}}{2}$

变式 2 - 1 [2024·浙江]如图，$AB$是$\odot O$的直径，$AC$与$\odot O$相切，$A$为切点，连结$BC$。已知$\angle ACB = 50^{\circ}$，则$\angle B$的度数为40$^{\circ}$。
]

答案： 变式2-1 40

变式 2 - 2 [2025·衢州模拟]如图，$P$为$\odot O$的直径$BA$延长线上的一点，$PC$为$\odot O$的切线，切点为$C$，$CD\perp AB$于点$D$，连结$AC$。
（1）求证：$AC$平分$\angle PCD$。

（2）若$PA = 3$，$AC = \sqrt{3}$，求$\odot O$的半径。

答案： 变式2-2
(1)略$ (2)\frac{3}{2}$