《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例1 已知：在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是对角线 $AC$ 上一点，$\triangle FBE$ 和 $\triangle ABE$ 关于直线 $BE$ 对称，$F$ 是点 $A$ 的对称点。
(1) 如图，$BF$，$AC$ 相交于点 $G$，求证：$CG· EG = BG· FG$。
(2) 当 $BF// AC$ 时，求 $\frac{CE}{AE}$ 的值。
(3) 若直线 $BF$，$BE$ 分别与边 $CD$，$AD$ 相交于点 $P$，$Q$，当 $DP = 2CP$ 时，求 $\frac{DQ}{AQ}$ 的值。

答案：
(1)略$ (2)\sqrt{2}-1 (3)\frac{\sqrt{10}-2}{3}$

变式1 - 1 [衢州中考]【推理】
如图1，在正方形纸片 $ABCD$ 中，$E$ 是 $CD$ 上的一个动点，将正方形沿着 $BE$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $CF$ 并延长，交 $AD$ 于点 $G$。
(1) 求证：$\triangle BCE\cong\triangle CDG$。
【运用】
(2) 如图2，在【推理】条件下，延长 $BF$ 交 $AD$ 于点 $H$。若 $\frac{HD}{HF}=\frac{4}{5}$，$CE = 9$，求线段 $DE$ 的长。

【拓展】
(3) 如图3，将正方形改成矩形，同样沿着 $BE$ 折叠，连结 $CF$，延长 $CF$，$BF$ 交直线 $AD$ 于 $G$，$H$ 两点。若 $\frac{AB}{BC}=k$，$\frac{HD}{HF}=\frac{4}{5}$，求 $\frac{DE}{EC}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）。

答案：
(1)略$ (2)3\sqrt{10} (3)\frac{\sqrt{k^{2}+9}}{3}$或$\sqrt{9k^{2}+1}$