《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 5 [2025·宜宾]如图，一张锐角三角形纸片 $ABC$，点 $D$ 在边 $AB$ 上，$AD = 2DB$。若点 $E$ 在 $AC$ 边上，沿 $DE$ 将 $\triangle ABC$ 剪成面积相等的两部分，则 $\frac{AE}{EC}$ 的值为

(C)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 变式5 C

典例 6 如图，点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 上，过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线 $l$，过点 $A$ 作 $AD \perp l$，垂足为 $D$，连结 $AC$，$BC$。
(1)求证：$\triangle ABC \backsim \triangle ACD$。
(2)若 $AC = 5$，$CD = 4$，求 $\odot O$ 的半径。
]

答案： 典例6
(1)略$ (2)\frac{25}{6}$

变式 6 [2025·宁波模拟]如图，四边形 $ABCD$ 为 $\odot O$ 的内接四边形，连结 $AC$ 和 $BD$，$AD = BD$，在 $AC$ 的延长线上取一点 $E$，连结 $DE$，延长 $BC$，交 $DE$ 于点 $F$。
(1)若 $C$ 为 $\widehat{BD}$ 的中点，$\angle CDB = 25^{\circ}$，求 $\angle ADB$ 的度数。
(2)当 $DE // AB$ 时，
①求证：$\triangle DCF \backsim \triangle BDF$。
②若 $F$ 为 $DE$ 的中点，求证：$DB^2 = AB · DE$。

方法技巧 证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在的三角形是否相似。若相似，则结论成立；若不相似，再用中间比来“搭桥”。

答案： 变式6
(1)80°
(2)①略 ②略

例题 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为对角线 $AC$，$BD$ 的交点，$AF$ 平分 $\angle DAC$，交 $BD$ 于点 $G$，交 $DC$ 于点 $F$。
(1)求证：$\triangle AEG \backsim \triangle ADF$。

(2)判断 $\triangle DGF$ 的形状，并说明理由。
(3)若 $AG = 1$，求 $GF$ 的长。
解：(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AC \perp BD$，$\angle ADF = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEG = \angle ADF = 90^{\circ}$。 (1 分)
$\because AF$ 平分 $\angle DAC$，
$\therefore \angle DAF = \angle EAG$， (2 分)
$\therefore \triangle AEG \backsim \triangle ADF$。 (3 分)
(2)$\triangle DGF$ 是等腰三角形。理由如下： (4 分)
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore \angle ADB = \angle DAE = 45^{\circ}$，$\angle ADF = 90^{\circ}$。
又 $\because AF$ 平分 $\angle DAC$，
$\therefore \angle DAG = \frac{1}{2}\angle DAC = 22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle DGF = \angle ADG + \angle DAG = 67.5^{\circ}$，$\angle DFG = 90^{\circ} - \angle DAG = 67.5^{\circ}$，$\therefore \angle DGF = \angle DFG$， (6 分)
$\therefore DG = DF$，
$\therefore \triangle DGF$ 是等腰三角形。 (7 分)
(3)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AC \perp BD$，$EA = ED$，
$\therefore \triangle AED$ 是等腰直角三角形，
$\therefore AD = \sqrt{2}AE$。 (8 分)
$\because \triangle AEG \backsim \triangle ADF$，
$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AE}=\sqrt{2}$。 (9 分)
又 $\because AG = 1$，
$\therefore AF = \sqrt{2}$，
$\therefore GF = AF - AG = \sqrt{2} - 1$。 (10 分)

答案：
(1)见解析；
(2)等腰三角形，理由见解析；
(3)$\sqrt{2}-1$。