《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 2 - 3 [2025·陕西]如图，点$O$在$\triangle ABC$的边$AC$上，以$OC$为半径的$\odot O$与$AB$相切于点$D$，与$BC$相交于点$E$，$EF$为$\odot O$的直径，$FD$与$AC$相交于点$G$，$\angle F = 45^{\circ}$。
（1）求证：$AB = AC$。
（2）若$\sin A = \frac{3}{5}$，$AB = 8$，求$DG$的长。
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答案： 变式2-3
(1)略$ (2)\frac{12\sqrt{2}}{7}$

典例 3 [通过平行证垂直]如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$E$，$C$在$\odot O$上，$C$是$\overset{\frown}{BE}$的中点，$AE$垂直于过点$C$的直线，垂足为$D$，$AB$的延长线交直线$DC$于点$F$。求证：$DC$是$\odot O$的切线。
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答案： 典例3 略

变式 3 - 1 [2025·西湖区校级模拟]如图，$AB$为$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点，$DE\perp AC$，交$AC$的延长线于点$E$。
（1）求证：直线$DE$为$\odot O$的切线。
（2）延长$AB$，$ED$，两者相交于点$F$。若$BF = 2$，$AC = \frac{2}{3}$，求$\cos\angle AFE$的值。
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答案： 变式3-1
(1)略$ (2)\frac{2}{3}\sqrt{2}$

变式 3 - 2 [等角代换][2025·齐齐哈尔]如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AB$为$\odot O$的直径，点$D$在$AB$的延长线上，连结$CD$，$\angle BCD = \angle A$，过点$B$作$BE\perp AD$，交$CD$于点$E$。
（1）求证：$CD$是$\odot O$的切线。
（2）若$B$是$AD$的中点，且$BE = 3$，求$\odot O$的半径。
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答案： 变式3-2
(1)略$ (2)3\sqrt{2}$

典例 4 如图，$PO$平分$\angle APD$，$PA$与$\odot O$相切于点$A$，延长$AO$交$PD$于点$C$，过点$O$作$OB\perp PD$，垂足为$B$。
（1）求证：$PB$是$\odot O$的切线。
（2）若$\odot O$的半径为 4，$OC = 5$，求$PA$的长。

方法技巧 （1）图中有$90^{\circ}$角时，证明圆与直线相切时可以利用：①等角代换；②平行线的性质；③三角形全等或相似。
（2）图中无$90^{\circ}$角时，可以利用等腰三角形的性质，根据等腰三角形“三线合一”的性质求证。

答案： 典例4
(1)略
(2)12