《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 2 - 2 [2025·舟山模拟]如图，在 $□ ABCD$ 中，$BE \perp AD$，交 $DA$ 的延长线于点 $E$，$AE = AD$。
(1) 求证：四边形 $AEBC$ 是矩形。
(2) $F$ 为 $CD$ 的中点，连结 $AF$，$BF$。已知 $AB = 6$，$BF \perp AF$，求 $BF$ 的长。
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答案： 变式2-2
(1)略$ (2)3\sqrt{3}$

典例 3 [2024·浙江]如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\frac{AC}{BD} = \frac{5}{3}$。线段 $AB$ 与 $A'B'$ 关于过点 $O$ 的直线 $l$ 对称，点 $B$ 的对应点 $B'$ 在线段 $OC$ 上，$A'B'$ 交 $CD$ 于点 $E$，则 $\triangle B'CE$ 与四边形 $OB'ED$ 的面积比为 \frac{1}{3}。
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答案： 典例$3 \frac{1}{3}$

变式 3 - 1 [2023·丽水]如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$\angle DAB = 60^{\circ}$，则 $AC$ 的长为(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 变式3-1 D

变式 3 - 2 [2023·温州]图 1 是第七届国际数学教育大会(ICME - 7)的会徽，图 2 由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成。作菱形 $CDEF$，使点 $D$，$E$，$F$ 分别在边 $OC$，$OB$，$BC$ 上，过点 $E$ 作 $EH \perp AB$ 于点 $H$。当 $AB = BC$，$\angle BOC = 30^{\circ}$，$DE = 2$ 时，$EH$ 的长为(C)

A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 变式3-2 C

变式 3 - 3 [2023·嘉兴、舟山]如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AE \perp BC$ 于点 $E$，$AF \perp CD$ 于点 $F$，连结 $EF$。
(1) 求证：$AE = AF$。
(2) 若 $\angle B = 60^{\circ}$，求 $\angle AEF$ 的度数。
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答案： 变式3-3
(1)略$ (2)60^{\circ}$

典例 4 [2025·衢州模拟]如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$ 为 $AB$ 边的中点，过点 $D$ 作 $AB$ 的垂线，交 $BC$ 于点 $E$，在直线 $DE$ 上截取 $DF$，使 $DF = ED$，连结 $AE$，$AF$，$BF$。
(1) 求证：四边形 $AEBF$ 是菱形。
(2) 若 $\cos \angle EBF = \frac{3}{5}$，$BF = 5$，连结 $CD$，求 $CD$ 的长。
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答案： 典例4
(1)略$ (2)2\sqrt{5}$

变式 4 - 1 [2024·广西]如图，两张宽度均为 $3\ cm$ 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 $60^{\circ}$，则重合部分构成的四边形 $ABCD$ 的周长为 $$8\sqrt{3}$\ cm$。
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答案： 变式$4-1 8\sqrt{3}$