《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例 1 小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3 节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程。

答案： 典例1 2

变式 1 [数学文化][2025·浙江模拟]清代数学家梅文鼎在《几何通解》中指出：若一直角三角形的股长是勾长的二倍，则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股，其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比(即黄金比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$)。如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 2$。点 $D$ 在边 $AB$ 上，过点 $D$ 作 $DE \perp AC$ 于点 $E$，$DF \perp BC$ 于点 $F$，若四边形 $DECF$ 的周长与 $Rt\triangle ABC$ 的周长之比恰好为中末比，则 $AD$ 的长为

(A)

A.$3\sqrt{5} - 5$
B.$3 - \sqrt{5}$
C.$6 - 3\sqrt{5}$
D.$5 - \sqrt{5}$

答案： 变式1 A

典例 2 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 $A$，$B$，$C$ 都在横线上。若线段 $AB = 3$，则线段 $BC$ 的长为
(C)

A.$\frac{2}{3}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$

答案： 典例2 C

变式 2 如图，已知 $AB // CD // EF$，$BC:CE = 3:4$，$AF = 21$，则 $DF$ 的长为
(B)

A.$9$
B.$12$
C.$15$
D.$18$

答案： 变式2 B

典例 3 [经典题]如图，在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，图中所有三角形均相似。若其中最小的三角形的面积为 $1$，$\triangle ABC$ 的面积为 $42$，则四边形 $DBCE$ 的面积为

(D)

A.$20$
B.$22$
C.$24$
D.$26$

答案： 典例3 D

变式 3 - 1 [2025·威海]如图，$\triangle ABC$ 的中线 $BE$，$CD$ 相交于点 $F$，连结 $DE$。下列结论错误的是
(B)

A.$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{4}S_{\triangle BCF}$
B.$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{四边形BCED}$
C.$S_{\triangle DBF}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCF}$
D.$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle AEB}$

答案： 变式3-1 B

变式 3 - 2 [2023·嘉兴]如图，$P$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，$D$ 是边 $AC$ 的中点，$PE // AC$，交 $BC$ 于点 $E$，$DF // BC$，交 $EP$ 的延长线于点 $F$。若四边形 $CDFE$ 的面积为 $6$，则 $\triangle ABC$ 的面积为
(C)

A.$12$
B.$14$
C.$18$
D.$24$

答案： 变式3-2 C

典例 4 如图，$AD$ 和 $BG$ 是 $\triangle ABC$ 的高线，连结 $GD$。求证：
(1)$\triangle ADC \backsim \triangle BGC$。
(2)$\triangle CDG \backsim \triangle CAB$。

归纳总结 相似三角形的基本图形：
(1)平行线型：如图 1，若 $CD // AB$，则有 $\triangle OCD \backsim \triangle OAB$。
(2)斜线型：如图 2，若 $\angle 1 = \angle A$，则有 $\triangle OCD \backsim \triangle OAB$。特别地，右图中，当 $\triangle OCD \backsim \triangle OAB$ 时，有 $OC^2 = OA · OD$。
(3)旋转型：如图 3，若 $\angle 1 = \angle 2$，且 $OD:OA = OC:OB$，或 $\angle 1 = \angle 2$，$\angle D = \angle A$，则有 $\triangle OCD \backsim \triangle OBA$。
(4)一线三等角型：
①如图 4，若 $\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD \perp BC$，则 $\triangle ABC \backsim \triangle DBA \backsim \triangle DAC$。
②如图 5，若 $\angle B = \angle ADE = \angle C$，则 $\triangle ABD \backsim \triangle DCE$。
③如图 6，若 $\angle B = \angle ACE = \angle D = 90^{\circ}$，则 $\triangle ABC \backsim \triangle CDE$。
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答案： 典例4 略