《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例 3 为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个扇子模型(如图)，扇形外侧两竹条 $AB$，$AC$ 夹角为 $120°$，$AB$ 长 30 cm，扇面的 $BD$ 边长为 18 cm，则扇面面积为$252\pi$$cm^2$。
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答案： 典例3 $252\pi$

变式 3 - 1(1)(2)选做一题。
(1)[作差法][2025·山西]如图 1，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90°$，$AB = AC$，分别以点 $B$，$C$ 为圆心、$BC$ 的长为半径画弧，与 $BA$，$CA$ 的延长线分别相交于点 $D$，$E$。若 $BC = 4$，则图中阴影部分的面积为(D)
A. $2\pi - 4$
B. $4\pi - 4$
C. $8\pi - 8$
D. $4\pi - 8$
(2)[覆盖法]如图 2，在(1)的条件下，整个图形的面积为$4\pi-4$。
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答案： 变式3-1
(1)D
(2)$4\pi-4$

变式 3 - 2 [等积变形法]如图，将 $\odot O$ 沿弦 $AB$ 折叠，恰好经过圆心 $O$，若 $AB = 2\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为$\frac{2}{3}\pi$。
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答案： 变式3-2 $\frac{2}{3}\pi$

变式 3 - 3 [作差法]如图，将 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $120°$ 得到 $\triangle A'B'C$。已知 $AC = 3$，$BC = 2$，则线段 $AB$ 扫过的图形(阴影部分)的面积为$\frac{5\pi}{3}$。
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答案： 变式3-3 $\frac{5\pi}{3}$

变式 3 - 4 [作差法][2025·河南]我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”。如图是研究“割圆术”时的一个图形，$\overset{\frown}{AB}$ 所在圆的圆心为点 $O$，四边形 $ABCD$ 为矩形，边 $CD$ 与 $\odot O$ 相切于点 $E$，连结 $BE$，$\angle ABE = 15°$，连结 $OE$ 交 $AB$ 于点 $F$。若 $AB = 4$，则图中阴影部分的面积为$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$。
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答案： 变式3-4 $\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$

变式 3 - 5 [割补法][2025·烟台]如图，正六边形 $ABCDEF$ 的边长为 4，中心为点 $O$，以点 $O$ 为圆心，$AB$ 长为半径作圆心角为 $120°$ 的扇形，则图中阴影部分的面积为$\frac{16\pi}{3}-8\sqrt{3}$。
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答案： 变式3-5 $\frac{16\pi}{3}-8\sqrt{3}$

典例 4 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 30 cm，母线长为 50 cm，则烟囱帽的侧面积为$1500\pi$$cm^2$(结果保留 $\pi$)。
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答案： 典例4 $1500\pi$

变式 4 - 1 [2025·广安]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 $90°$ 的扇形，若圆锥的母线长为 5，则该圆锥的底面圆的半径为(A)

A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5

答案： 变式4-1 A

变式 4 - 2 如图，在边长为 6 的正六边形 $ABCDEF$ 中，以点 $F$ 为圆心，以 $FB$ 的长为半径作 $\overset{\frown}{BD}$，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为$\sqrt{3}$。

答案： 变式4-2 $\sqrt{3}$

例题已知圆锥的侧面展开图的圆心角是 $180°$，底面积为 $15$ $cm^2$，则圆锥的侧面积为30$cm^2$。
【易错剖析】本题容易出错的地方在于把圆锥的底面半径与侧面展开后扇形的半径混淆。
【我的思考】

答案： 例题 30