《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 4 - 1 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ AD = 5 $，点 $ E $ 在 $ DC $ 上，将矩形 $ ABCD $ 沿 $ AE $ 折叠，点 $ D $ 恰好落在 $ BC $ 边上的点 $ F $ 处，则 $ \tan \angle EFC = $\frac{4}{3}.

答案： 变式$4-1 \frac{4}{3}$

变式 4 - 2 将一张矩形纸片(四边形 $ ABCD $)按如图所示的方式对折，使点 $ C $ 落在 $ AB $ 上的点 $ C' $ 处，折痕为 $ MN $，点 $ D $ 落在点 $ D' $ 处，$ C'D' $ 交 $ AD $ 于点 $ E $.若 $ BM = 3 $，$ BC' = 4 $，$ AC' = 3 $，则 $ DN = $\frac{3}{2}.

答案： 变式$4-2 \frac{3}{2}$

变式 4 - 3 [2023·杭州]如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle A ＜ 90^{\circ} $，点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别在边 $ AB $，$ BC $，$ CA $ 上，连结 $ DE $，$ EF $，$ FD $，已知点 $ B $ 和点 $ F $ 关于直线 $ DE $ 对称.设 $ \frac{BC}{AB} = k $，若 $ AD = DF $，则 $ \frac{CF}{FA} = $\frac{k^{2}}{2-k^{2}}(结果用含 $ k $ 的代数式表示).

答案： 变式$4-3 \frac{k^{2}}{2-k^{2}}$

典例 5 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 8，点 $ M $ 在 $ DC $ 上，且 $ DM = 2 $，$ N $ 是 $ AC $ 上一动点，则 $ DN + MN $ 的最小值为10.

方法技巧 有关几条线段的和的最值问题，一般都把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决.

答案： 典例5 10

变式 5 - 1 如图，菱形 $ ABCD $ 的边长为 2，$ \angle ABC = 45^{\circ} $，$ P $，$ Q $ 分别是 $ BC $，$ BD $ 上的动点，$ CQ + PQ $ 的最小值为\sqrt{2}.

答案： 变式$5-1 \sqrt{2}$

变式 5 - 2 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 60^{\circ} $，$ BC = 8 $，$ E $ 是 $ BC $ 边上一点，且 $ BE = 2 $，$ I $ 是 $ \triangle ABC $ 的内心，$ BI $ 的延长线交 $ AC $ 于点 $ D $，$ P $ 是 $ BD $ 上一动点，连结 $ PE $，$ PC $，则 $ PE + PC $ 的最小值为2\sqrt{13}.

答案： 变式$5-2 2\sqrt{13}$

变式 5 - 3 [2025·内江]如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 45^{\circ} $，$ \angle B = 60^{\circ} $，$ AB = 2\sqrt{2} $，$ D $，$ E $，$ F $ 分别是边 $ BC $，$ AB $，$ AC $ 上的动点，则 $ \triangle DEF $ 周长的最小值是2\sqrt{3}.

答案： 变式$5-3 2\sqrt{3}$

典例 6 如图 1，$ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ CD $ 边的垂直平分线 $ EH $ 交 $ BD $ 于点 $ E $，连结 $ AE $，$ CE $.
（1）过点 $ A $ 作 $ AF // EC $，交 $ BD $ 于点 $ F $，求证：$ AF = BF $.
（2）[双平模型]如图 2，作 $ \triangle ABE' $，使其与 $ \triangle ABE $ 关于直线 $ AB $ 对称.
①求证：$ BE' // CE $.
②若 $ AE' // BC $，$ OE = 1 $，求 $ CE $ 的长度.

归纳总结 对称图形综合题是 2025 年浙江中考 T24 首次出现的新题型.如图，在轴对称综合问题中，对应线段与对称轴之间的夹角相等（$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADC $ 关于 $ AC $ 对称，则 $ \angle BCA = \angle DCA $），这对等角与平行线结合产生等腰三角形（若 $ AE // BC $，则 $ AE = EC $），过对应线段中一条线段的端点向另一条线段作垂线，通过直角三角形中的数量关系或面积法求这条垂线段（图中 $ DF $）的长都是常见的考点.

答案： 典例6 （1）略 （2）①略$ ②1+\sqrt{5}$