《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

典例1 阅读下面材料:
将边长分别为 $a,a+\sqrt{b},a+2\sqrt{b},a+3\sqrt{b}$ 的正方形的面积分别记为 $S_1,S_2,S_3,S_4$,
则 $S_2 - S_1 = (a + \sqrt{b})^2 - a^2$
$= [(a + \sqrt{b}) + a][(a + \sqrt{b}) - a]$
$= (2a + \sqrt{b}) · \sqrt{b}$
$= b + 2a\sqrt{b}$.
例如:当 $a = 1,b = 3$ 时,$S_2 - S_1 = 3 + 2\sqrt{3}$.
根据以上材料解答下列问题:
(1)当 $a = 1,b = 3$ 时,$S_3 - S_2 =$$2\sqrt{3}+9$,$S_4 - S_3 =$$2\sqrt{3}+15$.
(2)当 $a = 1,b = 3$ 时,把边长为 $a + n\sqrt{b}$ 的正方形面积记作 $S_{n + 1}$,其中 $n$ 是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出 $S_{n + 1} - S_n$ 等于多少吗? 请证明你的猜想.
(3)当 $a = 1,b = 3$ 时,令 $t_1 = S_2 - S_1,t_2 = S_3 - S_2,t_3 = S_4 - S_3,·s,t_n = S_{n + 1} - S_n$,且 $T = t_1 + t_2 + t_3 + ·s + t_{50}$,求 $T$ 的值.

答案：
(1)$2\sqrt{3}+9$ $2\sqrt{3}+15$
(2)$S_{n + 1}-S_{n}=6n - 3 + 2\sqrt{3}$.证明略
(3)$7500 + 100\sqrt{3}$

变式1 我们规定:对于任意实数 $a,b,c,d$,有 $[a,b] * [c,d] = ac - bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2] * [5,1] = 3×5 - 2×1 = 13$.
(1)求$[-4,3] * [2,-6]$的值.
(2)已知关于 $x$ 的方程$[x,2x - 1] * [mx + 1,m] = 0$有两个实数根,求 $m$ 的取值范围.

答案：
(1)10
(2)$m\leqslant\frac{1}{4}$且$m\neq0$