《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式 2 - 4 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形。将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上。若小球停在阴影部分的概率为 $P_1$，停在空白部分的概率为 $P_2$，则 $P_1$ 与 $P_2$ 的大小关系为(B)


A.$P_1＜P_2$
B.$P_1=P_2$
C.$P_1＞P_2$
D.无法判断

答案： 变式2-4 B

典例 3 [2025·浙江]现有六张分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的卡片，其中标有数字 1，4，5 的卡片在甲手中，标有数字 2，3，6 的卡片在乙手中。两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是$\frac{4}{9}$。

答案： 典例$3 \frac{4}{9}$

变式 3 - 1(1)[放回]在 4 张完全相同的卡片上，分别标出 1，2，3，4，如果从中随机抽取 1 张后，放回再混合在一起，再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是$\frac{1}{2}$。

答案： 变式$3-1 (1)\frac{1}{2}$

(2)[不放回]一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同。从中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机取出一个球，则两次取出的球有一个是红球的概率为(B)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$

答案： 变式3-1
(2)B

(3)[一次性取两个]一个不透明的袋中装有大小、质地完全相同的 4 个球，其中有 1 个黄球、1 个白球和 2 个红球。从袋中任取 2 个球，恰为 2 个红球的概率是$\frac{1}{6}$。

答案： 变式$3-1 (3)\frac{1}{6}$

(4)[两组各取一个]一个盒子里放有草莓味、柠檬味的两种糖各 1 块，另一个盒子里放有草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖各 1 块，糖的外形相同。小亮从两个盒子中各取出一块糖，则两块糖是不同口味的概率为$\frac{2}{3}$。

答案： 变式$3-1 (4)\frac{2}{3}$

变式 3 - 2 [2025·江西]校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动。每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开就不能再放回了。
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是B。
A. 必然事件
B. 随机事件
C. 不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率。
类型四 用频率估计概率

答案： 变式$3-2 (1)B (2)\frac{1}{6}$

典例 4 [2025·浙江模拟]一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共 200 个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在 0.2 左右，则可估计红球的个数为40。

答案： 典例4 40

典例 5 [2025·成都]从 $-1$，1，2 这三个数中任取两个数分别作为 $a$，$b$ 的值，则关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + 1 = 0(a\neq0)$ 有实数根的概率为\frac{1}{2}。

答案： 典例$5 \frac{1}{2}$

变式 5 [2025·龙东地区]如图，随机闭合开关 $K_1$，$K_2$，$K_3$ 中的两个，能让两个灯泡 $L_1$，$L_2$ 同时发光的概率为\frac{1}{3}。

答案： 变式$5 \frac{1}{3}$

典例 6 [2025·舟山模拟]为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括 $A$(经典诵读)，$B$(我爱戏曲)，$C$(中华功夫)，$D$(民族乐器)四门课程。校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如图所示的统计图。

请结合图中信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了100名学生，图中“$C$”所在扇形的圆心角度是72$^{\circ}$。
(2)请将条形统计图补充完整。
(3)在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择了“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加经典诵读比赛，试用列表或画树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率。

答案： 典例6
(1)100 72
(2)略$ (3)\frac{1}{6}$