《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

变式3-2 [宁波中考]定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“遥望角”.
(1)如图1,$\angle E$ 是 $\triangle ABC$ 中 $\angle A$ 的“遥望角”,若 $\angle A = \alpha$,请用含 $\alpha$ 的代数式表示 $\angle E$.
(2)如图2,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$,四边形 $ABCD$ 的外角平分线 $DF$ 交 $\odot O$ 于点 $F$,连结 $BF$ 并延长,交 $CD$ 的延长线于点 $E$.求证:$\angle BEC$ 是 $\triangle ABC$ 中 $\angle BAC$ 的“遥望角”.
(3)如图3,在(2)的条件下,连结 $AE,AF$,若 $AC$ 是 $\odot O$ 的直径.
①求 $\angle AED$ 的度数.
②若 $AB = 8,CD = 5$,求 $\triangle DEF$ 的面积.

答案：
(1)$\frac{1}{2}a$.
(2)略
(3)①$45^{\circ}$ ②$\frac{25}{9}$

典例4 已知 $y_1$ 是自变量 $x$ 的函数,当 $y_2 = xy_1$ 时,称函数 $y_2$ 为函数 $y_1$ 的“升幂函数”.在平面直角坐标系中,对于函数 $y_1$ 图象上任意一点 $A(m,n)$,称点 $B(m,mn)$ 为点 $A$“关于 $y_1$ 的升幂点”,点 $B$ 在函数 $y_1$ 的“升幂函数”$y_2$ 的图象上.
例如:函数 $y_1 = 2x$,当 $y_2 = xy_1 = x · 2x = 2x^2$ 时,则函数 $y_2 = 2x^2$ 是函数 $y_1 = 2x$ 的“升幂函数”.
在平面直角坐标系中,函数 $y_1 = 2x$ 的图象上任意一点 $A(m,2m)$,点 $B(m,2m^2)$ 为点 $A$“关于 $y_1$ 的升幂点”,点 $B$ 在函数 $y_1 = 2x$ 的“升幂函数”$y_2 = 2x^2$ 的图象上.
(1)求函数 $y_1 = \frac{1}{2}x$ 的“升幂函数”$y_2$ 的函数表达式.
(2)如图,点 $A$ 在函数 $y_1 = \frac{3}{x}(x ＞ 0)$ 的图象上,点 $A$“关于 $y_1$ 的升幂点”$B$ 在点 $A$ 上方,当 $AB = 2$ 时,求点 $A$ 的坐标.

(3)点 $A$ 在函数 $y_1 = -x + 4$ 的图象上,点 $A$“关于 $y_1$ 的升幂点”为点 $B$,设点 $A$ 的横坐标为 $m$.
①若点 $B$ 与点 $A$ 重合,求 $m$ 的值.
②若点 $B$ 在点 $A$ 的上方,过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线,与函数 $y_1$ 的“升幂函数”$y_2$ 的图象相交于点 $C$,以 $AB,BC$ 为邻边构造矩形 $ABCD$.设矩形 $ABCD$ 的周长为 $y$,求 $y$ 关于 $m$ 的函数表达式.
③在②的条件下,当直线 $y = t_1$ 与函数 $y$ 的图象的交点有 $3$ 个时,从左到右依次记为 $E,F,G$.当直线 $y = t_2$ 与函数 $y$ 的图象的交点有 $2$ 个时,从左到右依次记为 $M,N$.若 $EF = MN$,请直接写出 $t_2 - t_1$ 的值.

答案：
(1)$y_{2}=\frac{1}{2}x^{2}$
(2)$(3,1)$
(3)①1或4 ②$y=\begin{cases}-2m^{2}+6m,(1\lt m\lt2)\\ -2m^{2}+14m - 16(2\lt m\lt4)\end{cases}$ ③4或$3 - 2\sqrt{2}$