《2026年全效学习中考学练测数学浙江专版》

例题 （10 分）已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^{2}-bx + c $。
（1）若该函数图象与 $ x $ 轴的交点坐标是 $ (-1,0) $，$ (2,0) $，求 $ b - 2c $ 的值。
（2）若该函数图象顶点的纵坐标为 $ 3 $，
①用含 $ b $ 的代数式表示 $ c $。
②当 $ 1＜x＜m $ 时，$ y $ 的取值范围是 $ 3\leqslant y＜4 $，求 $ c $ 的取值范围。

答案：

解：（1）由题意，得 $ \begin{cases}1 + b + c = 0,①\\4 - 2b + c = 0.②\end{cases} $

① $ + $ ②，得 $ 5 - b + 2c = 0 $，$ \therefore b - 2c = 5 $。 （3 分）

（2）① $ \because $ 函数图象顶点的纵坐标为 $ 3 $，

$ \therefore \frac{4c - b^{2}}{4}=3 $，$ \therefore c = \frac{b^{2}}{4}+3 $。 （5 分）

②由题意，得 $ y = x^{2}-bx + c = (x - \frac{b}{2})^{2}-\frac{b^{2}}{4}+c = (x - \frac{b}{2})^{2}+3 $， （6 分）

$ \therefore $ 二次函数图象的对称轴是直线 $ x = \frac{b}{2} $，最小值是 $ 3 $。

又 $ \because y $ 的取值范围是 $ 3\leqslant y＜4 $，

$ \therefore 1＜\frac{b}{2}＜m $。

当 $ 1＜\frac{b}{2}\leqslant\frac{m + 1}{2} $ 时，

$ \therefore 4 = (m - \frac{b}{2})^{2}+3 $，

$ \therefore m - \frac{b}{2}= \pm 1 $，

解得 $ m = \frac{b}{2}+1 $ 或 $ m = \frac{b}{2}-1 $（舍去），

$ \therefore 1＜\frac{b}{2}\leqslant\frac{\frac{b}{2}+1 + 1}{2} $，

$ \therefore 2＜b\leqslant 4 $。

当 $ \frac{m + 1}{2}＜\frac{b}{2}＜m $ 时，

$ \therefore 4 = (1 - \frac{b}{2})^{2}+3 $。

$ \therefore b = 4 $ 或 $ b = 0 $（舍去）。

综上所述，$ 2＜b\leqslant 4 $， （8 分）

$ \therefore 4＜\frac{b^{2}}{4}+3\leqslant 7 $，$ \therefore 4＜c\leqslant 7 $。 （10 分）

例题如图，二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq 0) $ 的图象经过点 $ A(1,0) $，$ B(5,0) $，则下列说法中，正确的是(D)


A.$ c＜0 $
B.$ b^{2}-4ac＜0 $
C.$ a - b + c＜0 $
D.图象的对称轴是直线 $ x = 3 $

答案： 例题 D